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1、第 四 节 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 一、为何将函数展开成幂级数？数学思想： 将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。复杂的函数 简单的函数数学的方法在实际问题中，我们需要将一个函数表示成一个幂级数形式。问题：计算机是如何计算sin(x)的函数值的？ 二、将函数展开成幂级数需要何种条件？nn n xxaxf )()( 00 该 问 题 转 化 为 ： 对 任 意 给 定 的 函 数 f(x)(2) 如果能展开, 是什么?na (3) 展开式是否唯一?(1)在什么条件下才能展开成幂级数? 证 明即内收敛于在),()()( 000 xfxuxxa nn n nn xxaxxaa
2、xf )()()( 0010定 理 1 如 果 函 数 )(xf 在 )( 0 xU 内 具 有 任 意 阶 导数 , 且 在 )( 0 xU 内 能 展 开 成 )( 0 xx 的 幂 级 数 ,即 nn n xxaxf )()( 00 则 其 系 数 ),2,1,0()(!1 0)( nxfna nn且 展 开 式 是 唯 一 的 . （ 定 理 1回 答 了 问 题 二 ）将函数展开成幂级数需要何种条件？ )(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn即得令,0 xx ),2,1,0()(!1 0)( nxfna nn泰勒系数是唯一的, .)(的展开式是唯一的xf 10021
幂级数展开式
3、 )()(2)( nn xxnaxxaaxf逐项求导任意次,得泰勒系数 nn n xxn xfxf )(! )(?)( 00 0)( 定 义只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x)在该点的泰勒级数总是可以写出的，那末这个泰勒级数在收敛区间内是否一定收敛于f(x)呢?不一定.即问 题 ： 0,0 0,)( 21 xxexf x例如),2,1,0(0)0()( nf n且 00)( n nxxf的麦氏级数为.0)(),( xs内和函数该级数在可见).()(,0 xfxfs于的麦氏级数处处不收敛外除在x=0点任意可导,0limx )0(f 0 021xe x 0limx 211xex 0limx
4、 212 xex 0比 如洛必达法则 定 理 2 )(xf 在 点 0 x 的 泰 勒 级 数 ,在 )( 0 xU 内 收 敛 于 )(xf 在 )( 0 xU 内 0)(lim xRnn .证 明必要性)()(!
)()( 00 0)( xRxxi xfxf nini i ),()()( 1 xsxfxR nn ,)(能展开为泰勒级数设xf )()(lim 1 xfxsnn )(lim xRnn )()(lim 1 xsxf nn ;0 充分性),()()( 1 xRxsxf nn )()(lim 1 xsxf nn )(lim xRnn ,0),()(lim 1 xfxsnn 即).()
5、( xfxf的泰勒级数收敛于定 理 2 )(xf 在 点 0 x 的 泰 勒 级 数 ,在 )( 0 xU 内 收敛 于 )(xf 在 )( 0 xU 内 0)(lim xRnn . 三、如何将函数展开成幂级数？1.直 接 法 (泰 勒 级 数 法 )步 骤 : ).(xf敛于则级数在收敛区间内收并 求 其 收 敛 域 的 幂 级 数在 点写 出求 0 0 00)( )( )(,! )()1(n nn nn xxa xxfn xfa如 条 件 满 足 ，(2) 判 定 是 否 成 立 ？0)(lim xRnn 例 1解 ,)()( xn exf ),2,1,0(.1)0()( nf n ),(
6、!1!211 2 xxnxxe nx R 111)1( )!1()!1()!1( )()( nxnnnn xnexnexnfxR 01 !)!1(, n nnx nxnxex 的 一 般 项是 收 敛 级 数而有 界确 定 后当 )(,0 n 的 幂 级 数展 开 成将 xex .!.!21!0 2 n nnx nxxnxe 的 麦 克 劳 林 级 数 为 例 2 .sin)(的幂级数展开成将xxxf 解 ),2sin()()( nxxf n ,2sin)0()( nf n,0)0()2( nf ,)1()0()12( nnf ),2,1,0( n)(xR n且 1)!1( 2)1(sin n
7、xnn 0 )!12()1(!51!31sin 1253 nxxxxx nn),( x )!1( 1 nx n 例 3 .)()1()(的幂级数展开成将xRxxf 解 : )1,1(x nxn nxxx ! )1()1(!2 )1(1 )1( 2注 意 : .1的取值有关处收敛性与在x有 如 下 牛 顿 二 项 式 展 开 式 （ 展 开 过 程 略 ） 有时当,21,1 )1,1()1(11 1 32 nnxxxxx 1,1!)!2( !)!32()1(642 314212111 32 nn xnnxxxx 1,1!)!2( !)!12()1(642 53142 3121111 32 nn
8、xnnxxxx双阶乘 2.间接法此方法简单易行，效果好，是以后将函数展开成幂级数的主要方法，应重点掌握。 例如)(sincos xx )!2()1(!41!211cos 242 nxxxx nn ),( x )!12()1(!51!31sin 1253 nxxxxx nn 例：将y=xarctanx展成x的幂级数。 若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得讨论余项Rn(x)。 。从而得故由于1,12 1)1(arctan 1,12 1)1( )1( )1( 1 1)arctan(arctan ,1,)1(1 1 0 220 120 20 0 0 20 20 0 xxnxxy xxndxx
9、dxxdxxdxxx xxx n nnn nnn nxn x n nnxxn nn若用间接方法，就很简便。 x xdxx 0 21arctan 12)1(5131 1253 nxxxx nn 幂级数展开式 1,1x x xdxx 0 1)1ln( nxxxx nn 132 )1(3121 1,1(x nn n xxxxx 20 11 1 21 1x 0 2 )(n nx)(1 1 2x 例 4处展开成泰勒级数在将14 1)( xxxxf解 ).1()1( )(nfx并求的幂级数展开成 )1(3 14 1 xx ,)3 11(3 1 x )3 1()3 1(3 1131 2 nxxx 31 xxxxx 4 1
10、)1(4 1 n nxxxx 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3 32 2 xxxx 4 1)1(4 1 n nxxxx 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3 32 2 31 x! )1()(nf n于是.3!)1()( nn nf 故,31n Ex将函数 21 xxf在0 x和2x间接展开为泰勒级数。 nn n xxxxx 20 111 21 xxf )2(1 121 x nn x)2(21 0 0 12)1(n nnn x 1,1 2,2 21 xxf )42(1 141 x nn x )42(41 0 0 14 )2()1(n n nn x 6,2 Ex将函数xsin展
11、开成4x的幂级数。xsin )4(4sin x )4sin(4cos)4cos(4sin xx)4sin()4cos(21 xx )!12()1(!5!3sin 12153 nxxxxx nn ,x !5 )(!3 )()4()4sin( 5434 xxxx ,x )!2()1(!4!21cos 242 nxxxx nn ,x !4 )(!2 )(1)4cos( 4424 xxx ,xxsin )4sin()4cos(21 xx !3 )(!2 )()4(121 3424 xxx ,x 内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe 1 ),( x)1(ln x x 1,1( xx 2!21 x ,!1 nxn221x 331x 441x 11)1( nn xn 式的函数 . !)12()1( 12nx nnxsin x !33x !55x !77xxcos 1 !22x !44x !66x !)2()1( 2nx nnmx)1( 1 xm 2!2 )1( xmm nxn nmmm ! )1()1(当 m = 1 时x11 ,)1(1 32 nn xxxx ),( x ),( x )1,1(x )1,1(x
