放寒假要自律，笔记发出来不为别的就是看到之后踢我学（催更）
也称赛博头悬梁锥刺股
如果笔记有问题到我主页笔记下面留言，我会尽快修改
1.20-2.20要打寒假工，期间可能暂缓更新或不更新，尽量吧
高等数学下
第七章 微分方程
7.1.基本概念
宋浩有导数的方程就叫微分方程（没说几阶导数）；求导的阶数就是微分方程的阶数
初始条件指的就是那个点（1，2）
通解指的就是含常数的个数（也就是C的个数）等于微分方程的阶数
看上面那张图，很明显这是一个二阶微分方程最后化简的式子里面有两个C（c1与c2）。
7.2.可分离变量的微分方程
X和y可以完全两边分开就叫做可分离变量
然后两边同时求积分就可以了（如下图）
如上图想办法把X跟y给它分开然后对两边再求积分就可以
微分方程里面不用写lny的绝对值，直接像箭头指示一样直接写lny就可以了如下图所示
7.3.齐次方程
dy比dx是y/x的一个函数，就叫齐次方程
解齐次方程的必写三板斧
然后再带数进去算，将同类项移到一起
比如说上面的例题，解法如下图所示
如何判断是否能化成齐次方程，只需要除以y的次数加一看一下别的项目能不能也有y/x项
上图显然不行
可化为其次的方程
如果可以做到分子的常数项等于分母的常数项，那就可以把它画成y比X的形式
第一种情况
第二种情况
假设A1比a等于B1比B等于某个定值，把A1和B1分别用含a和B的式子来表示（带到原来dy比DX的式子中）
（后面他用了一个v来表示AX加BY）
然后再用含DV的式子来代替dy比DX，移项，再按照可分离变量的方法去解
7.4.一阶线性微分方程
记住上面的两个公式
代数即可
例3还有第2种方法
宋浩伯努利方程
n=0时就是一阶线性微分方程
n=1就是齐次方程
老师在当时说反了
对原式同时除以y的N次方，得到第一条式子
我们再用一个字母Z表示y的一减N次方得到第二条式子，如果我们想得到Dz比DX。对于第二条式子，同时两边对x求导。再反解dy比DX，把dy比DX带到第一条式子中，就可以得到含DZ比DX的式子。
实际上化简完就是截图中右方那个最终的式子。
注意我们在一开始用Z来表示y，还要反解把z给带进去
例题就是对于伯努利方程的套用
两边同时除以一个y方（伯努利方程必须保证右边干干净净只有一个关于X的式子）
然后使劲往伯努利方程上面凑，第二步第三步就是凑的过程，z=y的负一次方，剩下两项是P跟Q。
然后就是最后一步，代数进公式算就可以了
7.5.可降阶的高阶微分方程
第一种很简单就是求原函数，只需要注意每个C是不一样的就可以了
第2种就是间接地降阶，让Y撇等于P，让y撇撇等于P撇。带进去求微分，再通过可分离变量求解。最后把p带回去
第3种本质上也是通过让Y撇等于P来降阶，只不过降的方式有点不一样（看上图）
然后得到两个式子y撇和y撇撇
在立体里面直接把y撇和y撇撇直接带到式子里，对能不能消掉p进行讨论，如果P不等于0Y不等于零，得到P和y是成正比的。如果P等于零，那么y撇等于零，可以知道y是一个常数。
课本中的答案怎么来的，就是把P变回dy比DX，再用一阶线性微分方程两个式子解出来的
7.6.高阶线性微分方程
如果FX等于零就是二阶线性齐次方程
如果FX不等于零就是二阶线性非齐次方程
定理一及其证明过程
我们在之前学过二阶微分方程通解的任意常数有两个，看上去这里的结论似乎跟通宋浩解两个任意常数相吻合。
为什么我得出的结论不能是通解，而仅仅是一个解？
看这个反例，我最终靠着这个所谓的通解得到了一个常数乘以X，说明我得出来的通解是不成立的。
这里需要注明的是这是一个解而不是通解
线性组的相关与无关以及函数组的相关与无关
例题
我只要找到一组K（不全是0），相乘之后加起来使得式子等于零，就说这个函数组相关
如果你只能找到一组k全是零的（这不废话吗，零乘任何数都是零），相乘之后加起来使得式子等于零，就说这个函数组不相关
这组K你想怎么样都可以，是一组数就行
如果两个函数是相关的那么两个函数的比就是个常数
这个定理二跟老师在上面举的反例有点关系
定理三有点绕但是很好用
独家小秘方
把Y1Y2带到非齐次方程里面，再把Y1减Y2带到齐次方程里面，左边的带到右边的，证毕。
定理四
也称叠加原理
