1、5第一章函数、极限和连续 1.1 函数一、主要内容函数的概念1. 函数的定义：y=f(x), x D定义域：D(f),值域:Z(f).:yf(x)xD!2.分段函数g(x)xD23.隐函数：F(x,y)= 04.反函数：y=f(x)t-1x= 0 (y)=f (y)y=f-1 (x)定理：如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：-1 -1 -1y=f (x), D(f )=Y, Z(f )=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1. 函数的单调性：y=f(x),x D,X1、X2 D当 X1V X2 时,若 f(x 1
2、) w f(x 2),则称f(x)在D内单调增加();若 f(x 1) f(x 2),则称f(x)在D内单调减少();若 f(x 1) V f(x 2),则称f(x)在D内严格单调增加()；若 f(x 1) f(x 2),则称f(x)在D内严格单调减少()2. 函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3. 函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x (-+8)周期：T最小的正数4. 函数的有界性：|f(x)| w M , x (a,b)基本初等函数1. 常数函数：y=c , (c为常数)2. 幕函数：y=x n , (n 为实数)3
3、. 指数函数：y= ax , (a 0、1)4. 对数函数： y=log a x ,(a 0、a 丰 1)5. 三角函数：y=sin x , y=con xy=ta n x , y=cot x y=secx , y=cscx6. 反三角函数： y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1. 复合函数：y=f(u) , u=$ (x)y=f $ (x) , x X2. 初等函数 :由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函 数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的
4、极限lim ynn称数列 yn 以常数 A 为极限 ;或称数列 yn 收敛于 A.定理 : 若yn 的极限存在yn必定有界 .2. 函数的极限：当 x时，f(x)的极限：limf (x)Ax limxf (x)Alimxf(x) A当 xx0 时，f (x)的极限：limf (x)Ax x0左极限：limf 
(x)Ax x0右极限:lim f(x)x X0函数极限存的充要条件:定理：ximf(x)A!imf(x)lim f (x) A无穷大量和无穷小量无穷大量:lim f (x)xo，xxo，xxo称在该变化过程中 f(x) 高数笔记 为无穷大量。X再某个变化过程是指：2.无穷小量：lim f (x)0
5、称在该变化过程中f(x)为无穷小量。3. 无穷大量与无穷小量的关系:定理:lim f (x)lim无穷小量的比较:lim0,lim,(f(x) 0)0若1imC (c为常数)，则称炸同阶的无穷小量;卄 lim 0若，则称B是比a较高阶的无穷小量;lim若，则称B是比a较低阶的无穷小量。lim1若，则称B与a是等价的无穷小量，记作：Ba；定理：若： 1 1 ,则:limlim两面夹定理1.数列极限存在的判定准则:设：ynXnZn(n=1、2、3)且：limnYnlim znan则：limnXna2.函数极限存在的判定准则：设：对于点X。的某个邻域内的一切点（点Xo除外）有：g（x） f（x） h
6、（x）lim g(x) lim h(x) A且: XX。x X。则:lim f (x)x X。极限的运算规则若: lim u(x) A, lim v(x) B则：limu(x) v(x) lim u(x) lim v(x) A BAB (lim v(x) 0) lim u(x) v(x) lim u(x) lim v(x) A B.u(x) lim u(x) lim v(x) lim v(x)推论: lim U1(x)U2(x)Un(X)lim u1(x) lim u2(x)lim un(x) lim c u(x)lim u(x) lim u(x)nlim u(x)n两个重要极限sin x l
7、im1 - x 0 xsin (x)0(x)1 x2 lim (11)x 1.3连续一、主要内容函数的连续性xm0(11x)x1.函数在x0处连续:f(x) 在 X。 的邻域内有定义,xm0 ylixm0f(x0x)f(xo)2o xlimx0 f (x)不存在；耙心)f(Xo)左连续：ximxQf(x)f (Xo)右连续:lim f (x)X Xgf (Xo)112.函数在 X0处连续的必要条件:定理:f(X) 在Xo处连续f (X) 在 Xo处极限存在3.函数在X0处连续的充要条件:定理:lim f (x)X Xof (Xo)lim f (x) lim f (x)f (xo)X XoX X
8、o4. 函数在a, b上连续：f(x) 在a, b上每一点都连续。在端点a和b连续是指:lim f (x)x af (a)左端点右连续;lim f (x)x bf(b)右端点左连续。a+ o5. 函数的间断点：eb-xf (x) 在 Xo处不连续，则Xo为 f(x) 的间断点。间断点有三种情况:1。)x( f 在 Xo处无定义;3o )x( f在 x0 处有定义，且lim f(x)x x0存在lim f (x)但 x x0f (x0) 。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：!吧心)和 ximXof(x)都存在。lim f(x)可去间断点 ： x x0存在，但lim f (x)f(x0)x
9、( f xx x00 ，或在 x0 处无定义。2第二类间断点：lim f (x) lim f(x)特点：XX。和X Xq至少有一个为g,lim f(x)或 X Xq振荡不存在。lim f(X) lim f(X)无穷间断点：X Xq和XXq至少有一个为 函数在 Xq 处连续的性质1. 连续函数的四则运算：设 lim f (X)f(Xq), lim g(X) g(Xq)设 X Xq, X Xq10 WX)g(x)f(xo) g(xo)20呗5g(x)f (Xo) g(Xo)，-f(x) lim3。x x。g(x)2. 复合函数的连续性:f (Xo) g(x。)ximog(x)y f (u), u(
10、x), y f (x)lim (x)x Xo(Xo)，ulin?xo)f(U)f (Xo)则:lim fX Xo(X)3.反函数的连续性:y f (x), xflim (x) f (Xo)X Xof 1(x),yof (Xo)1lim f (x) f (xo)lim f (y)X Xoy yo1(yo)函数在 a,b 上连续的性质+Mf(x)在a,b 上连续 y tf(x)f(x) 在 a,b 上一定存在最大值与最小值。f(x)1最大值与最小值定理：-M 2.有界定理:f (x)在a,b 上连续f (x)在a,b 上一定有界。3介值定理:f (x)在a,b 上连续(a,b)内至少存在一点，使得
11、:f(xx17推论:f (x)在a,b 上连续，且 f(a)f(b)曰口异号在 (a,b) 内至少存在一点，使得:f()4初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一兀函数微分学 2.1导数与微分一、主要内容导数的概念i.导数：y f (x)在Xo的某个邻域内有定义,f(Xox) f(Xo)2.左导数:limXXoxo右导数:f(x) f(Xo)x Xof (Xo)dydxX Xo(Xo)limXxof (Xo)f(x) f(Xo)X XolimX Xof(x) f(Xo)x Xo定理：f ( X)在Xo的左(或右)邻域上连续在其内可导，且极限存在；则:f (Xo)lim f
12、(x)x xo(或:f (Xo)lim f (x)X Xo)3函数可导的必要条件:定理： f(x) 在 Xo 处可导(X)在 Xo处连续4.函数可导的充要条件:定理：yX Xof (Xo)存在f(X。)f (X。),且存在。5导函数：yf (x),(a,b)f(x) 在 (a,b) 内处处可导。6导数的几何性质:f (Xo)是曲线y f(x)上点M Xo,y。处切线的斜率。Xo求导法则i基本求导公式：2导数的四则运算:f (Xo)1( u v)2o (u v)3ov2(v0)3复合函数的导数:y f(u),(X),f(X)dydy dudxdu dx ，或f (x)f (x)(x)注意 f (
13、x)与f (X) 的区别:f(X) 表示复合函数对自变量X求导;f (X)表示复合函数对中间变量(X )求导。#4高阶导数：f (x),f (X),或f (x)f(n)(x) f(n 1)(X) , (n 2,3,4)函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念1.微分： f(x) 在x的某个邻域内有定义，y A(x) x o( x)阶的无穷小量，即:lim 0x 0则称yf(x)在x处可微，记作:其中：A(x)与 x无关，o( x)是比x较高dy A(x) xdy A(x)dx ( x 0)2.导数与微分的等价关系:定理:f(x)在x处可微f (x)在x处可导,且: f (x) A(x)
14、3. 微分形式不变性：dy f (u)du不论U是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同的形式。 2.2中值定理及导数的应用 一、主要内容中值定理211罗尔定理：f(x)满足条件:f ( ) f(x)10在a,b上连续;20在(a,b)内可导在(a,b)内至少存在一点，使得f ( )0.f(b) f(a)10在a,b上连续,20在(a,b)内可导;在(a,b)内至少存在一点，使得:罗必塔法则:定理:(0型未定式)f (x)和 g(x)满足条件:lim f(x) 0(或)x aio|img(x) 0 (或);x a2在点a的某个邻域内可导，且g(x)lim匸凶 A,(或)3X a( )
15、g (x)lim f(x) lim 匸凶 A,(或) 则：x a( ) g(x) x a( ) g (x)注意：1法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2若不满足法则的条件，不能使用法则。0 _即不是o型或 型时，不可求导。3应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4若(x)和g (x)还满足法则的条件,可以继续使用法则，即: f(X)f(X)f (x) A /f limlimlimA (或)x a( ) g(x) x a( ) g (x) x a( ) g (x)5若函数是型可采用代数变0形，化成6或型;若是1,060型可采用对数或指数变形，化成型。23M
16、(xo, yo)f (Xo)(x Xo)1f (Xo)导数的应用1.切线方程和法线方程：设：y f(x),切线方程： y yof:(X)oX(a,b)f (X)oX(a,b)f (X)oX(a,b)1f (X)oX(a,b)3函数的极值： 极值的定义：法线方程:yo2.曲线的单调性:(x Xo), ( f (Xo) o)f (X)在(a,b)内单调增加;f (x)在(a,b)内单调减少;在(a,b)内严格单调增加；在(a,b)内严格单调减少。设f (x)在(a, b)内有定义，Xo是(a, b)内的一点;若对于Xo的某个邻域内的任意点Xo，都有:f (Xo) f (x)或f (Xo)f (x)
17、则称f(x。)是 f(x)的一个极大值(或极小值)称X。为f(x)的极大值点(或极小值点)27极值存在的必要条件：定理：1。. f (x)存在极值f (x0)20.f (xo)存在。f (x。) 。x0称为f (x)的驻点f (x0)是极值; x0是极值点。极值存在的充分条件：定理一：10. f (x)在X。处连续；20. f (x0)0或f (x0)不存在;3o.f (x)过x0时变号。当 x 渐增通过x0时，f (x)由( +)变( -)；f(x0)为极大值；当 x 渐增通过x0时,f (x) 由( -)变+)；则f(x0)为极小值。10.f (x0) 0；20.f ( x0 )存在。f
18、( x0 )是极值；x()是极值点。若 f (x0)若0，则f (x0)为极大值；若 f (x0)0，则 f (x0 )为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4 曲线的凹向及拐点：若f (x)0,xa,b；则f(x) 在 (a,b)内是上凹的(或凹的)若 f (x) 0,xa,b ；则f (x)在(a，b)内是下凹的(或凸的),(u)；,(门);10.f (x0)0，x0, f(x0) 称20. f (x)过x0时变号。为f (x)的拐点。若 lim xf (x)Ay A 是 f (x)或 lim xf (x)A的水平渐近线。铅直渐近线：若 limxCf(x)x C 是 f
19、 (x)或 lim xCf(x)的铅直渐近线。5。曲线的渐近线：水平渐近线：第三章 一元函数积分学 3.1 不定积分 一、主要内容 重要的概念及性质：1原函数：设： f (x), F(x),若： F (x) f (x)则称F(x)是 f(x)的一个原函数，并称F(x)C 是 f (x)的所有原函数其中 C 是任意常数。2不定积分：函数(x)的所有原函数的全体，称为函数f(x)的不定积分；记作：f (x)dx F(x) C其中：f(x)称为被积函数；f (x)dx 称为被积表达式； x 称为积分变量。3. 不定积分的性质：或：f (x)dxf (x)dxf(x)f (x)dxf (x)dx f
20、(x) C或： df (x) f (x) C f1(x) f2(x)fn(x)dxfn(x)dxf1(x)dxf2(x)dx分项积分法kf(x)dx k f(x)dx（k为非零常数）4.基本积分公式：换元积分法：1第一换元法：（又称“凑微元”法）f(x) (x)dx凑微元f(x)d (x)f(t)dt F(t)令 t (x)F回代t （x）常用的凑微元函数有：1dx d（ax）aiomx dx2。(x) Cd(ax am 1dxb)（a,b为常数，a 0）a(m 1)d(axm1 b)（m为常数）exdx3od(ex)1 d(aex b)aaxdx1 xd(a ), (a 0,a1)In a-
21、dx4O xd(ln x)3122sec xdx d(tan x) csc xdx d(cot x)6odx2xd(arcsin x)d(arccos x)-dx xd (arctan x)d(arc cot x)2第二换元法:f(x)dxf (t)d (t)令 x (t)(t)f (t)dx F(t) CF 1(x) C反代t 1 (x)第二换元法主要是针对含有根式的被积函数, 其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1otn, n为偶数时,t2o xa si nt,(或 x acosx), 0 t 7l22(当被积函数中有y ax时)3o x atan t,(或x acott), 0 t
22、 7, (0 t 7)（当被积函数中有4o x a sect,(或 xacsct), 0 t 7, (0 t 7)/22(当被积函数中有 xa时)分部积分法：1. 分部积分公式:udvu v vduu vdx u v u vdx2分部积分法主要针对的类型: P(x)sin xdx, P(x)cosxdxP(x)exdx P(x)ln xdx P(x)arcsin xdx,P(x)arccosxdxP(x)arctan xdx,P(x)arc cot xdxeax sin bxdx,eax cosbxdxnn 1其中：P(x) axa/3.选u规律：an （多项式）在三角函数乘多项式中，令P(x
23、)其余记作dv;简称“三多选多”其余记作dv;简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，令 In x u， 其余记作dv;简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为u，其余记作dv;简称“指三任选”。简单有理函数积分：f (x)1.有理函数：P(x)Q(x)其中 P(x)和 Q(x) 是多项式。2.简单有理函数:f(x)P(x)f(x)P(x)1 x2f(x)P(x)(x a)(x b)f(x)P(x)(xa)2 3.2定积分主要内容(一) 重要概念与性质1.定积分的定义:f(x)O a X1 X2 Xi-
24、1ba f(x)dx定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于 x轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。x轴上方的面积取正号，yx轴下方的面积取负号。+a 0- b2. 定积分存在定理：设：y f (x) x a,b1 . f (x)连续，x a,b ;若：f(x)满足下列条件之一：2 . f (x)在a,b上有有限个第一类间断 点;3. f (x)在a,b上单调有界; 则:f(x)在a,b上可积。若积分存在，则积分值与以下因素无关：bb1与积分变量形式无关，即 f (x)dx f (t)dt;aa2与在a,b上的划分无关，即a,b可以任意划分
25、；3与点i的选取无关，即i可以在Xj上任意选取积分值仅与被积函数f (x)与区间a,b有关3. 牛顿莱布尼兹公式：若F(x)是连续函数f(x)在a,b上的任意一个原函数: 则：b f (x)dx F(x)b F (b) F(a)a*牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及 计算差量的问题。4.原函数存在定理:若f(x)连续，x a,b ,x贝U： (x) a f(t)dt, x a, b(x)是f (x)在a,b上的一个原函数,x且：(x)( a f(t)dt) f(x)a5. 定积分的性质：设f (x), g(x)在a,b上可积，则：bb1
26、 kf (x)dx k f (x)dx aabaa f(x)dxb f(x)dxba f(x) g(x)dxaaf (x)dxabaf(x)cf (x)dx abbbba f (x)dx ag(x)dxaabc f (x)dx (a c b)x7 f (x)g(x), (a x b)bb则 f (x)dx g(x)dxaa估值定理:41bm(b a) f (x)dx M (b a)a9积分中值定理:其中m, M分别为f (x)在a,b上的最小值和最大值b若f(x)连续xa,b ,则：必存在一点使 a f (x)dx f ( ) (b a)(二)定积分的计算：i. 换元积分设f (x)连续，x
27、a,b, x (t)若(t)连续，t ,且当t从 变到 时，(t)单调地从a变到b,()a, ( ) b,2.3.4.口 rb则：f (x)dx分部积分budva广义积分f (t)bvdua(t)dtf (x)dxf (x)dxf(x)dx定积分的导数公式xf (t)dt)x af(x)2(x)f (t)dtx(x)(x)32(X)i(x)f(t)dtx2（X）2(x) f i(x)i(x)（三）定积分的应用i.平面图形的面积：由 y f(x) 0,a,与x轴所围成的图形的面积yf(x)bf(x)dx a2 由yif (x),y2b,g(x), (f及x轴所围图形绕x轴旋转所2bVxa2由曲线
28、x得旋转体的体积：与x a,x b所围成的图形的面积bs a f(x) g(x)dx3 由 Xi (y), X2(y),(与y c, y d所围成的图形的面积ds (y) (y)dyc4. 求平面图形面积的步骤： . 求出曲线的交点，画出草图； . 确定积分变量，由交点确定积分上下限； . 应用公式写出积分式，并进行计算。2. 旋转体的体积11 曲线 y f (x) 0,与xa, x得旋转体的体积：d 2Vy2(y)dyC第四章多元函数微积分初步 4.1偏导数与全微分一 . 主要内容： . 多元函数的概念3. 二元函数的定义：z f (x,y) (x,y) D定义域： D(f )4. 二元函数
29、的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。 (而一元函数是平面上的曲线) . 二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设 z=f(x,y) 满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。(点( x0, y0 )可除外)2 lim f (x,y) Ax x0y y0则称z f(x,y)在(x0, y0)极限存在，且等于A2. 连续定义：设 z=f(x,y) 满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。2 lim f (x,y) f (x0,y0)x x0y y0则称z f (x, y)在(x0, y0)处连续。 .偏导数：定义：f (x, y),在(Xo，y)点f(X。x,y。) f (Xo
30、,y。)fx(X0，y0)lXm0fy(x0,y0) lim f(X0，yoy) f(X0，y0)y 0yfX(Xo,y。)，fy(Xo, yo)分别为函数 f (X, y)在(x,y) 处对x,y的偏导数。fx(x,y)f(x,y)fy(x,y)f(x,y)Zyz f (x, y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：.全微分：1.定义：z=f(x,y)若 z f (Xx,yy)f(x,y)b y o()其中，A、B与x、 y无关，o()是比v X2y2较高阶的无穷小量。则:dz df (x,y) A x B y是zf(x,y)在点(x,y)处的全微分。D.3. 全微分与偏导数的关系定理：若 fx(x,y), fy(x, y)连续,x,y)贝U: z f (x, y)在点(x, y)处可微且 dz fx(x,y)dxfy(x, y)dy.复全函数的偏导数：1 设：z f(u,v),u u(x,y),v v(x, y) z f u(x, y),v(x, y)则:二二丿二xuxvxzzuzvyuyvy2.设 y f (u,v),u u(x),v v(x)y fu(x),v(x) dyy
