《充要条件证明题》（精选14篇）
《充要条件证明题》
1、数列{xn}满足：x1?0,xn?1??xn?xn?c(n?N)证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0
证明：必要条件：当c?0时，xn?1??xn?xn?c?xn?数列{xn}是单调递减数列充分条件：数列{xn}是单调递减数列?x1?x2??x1?x1?c?c?x1?0得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?02、设数列a1,a2,?an?中的每一项都不为0.证明，?an?为等差数列的充分必要条件是：对任何n?N，都有证明：先证必要性
设数列{an}的公差为d,若d?0,则所述等式显然成立，若d?0，则
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111n?????.a1a2a2a3anan?1a1an?1
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再证充分性.证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n?N?都成立，首先，在等式
112
??① a1a2a2a3a1a3
两端同乘a1a2a3,即得a1?a3?2a2,所以a1,a2,a3成等差数列，记公差为d,则a2?a1?d.
2011-04-22 21:36:39|分类：|标签： |字号大中小 订阅
2011/04/2
2从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的结论是否正确的过程，叫做证明。
要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题，一般步骤如下：
（1）按照题意画出图形；
（2）分清命题的条件的结论，结合徒刑，在“已知”一项中写出题设，在“求证”一项中写出结论；
（3）在“证明”一项中，写出全部推理过程。
一、直接证明
1、综合法
（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.2、分析法
（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.二、间接证明
反证法
1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2、反证法的特点：
反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.３、反证法的优点：
对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.４反证法主要适用于以下两种情形：
（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
“两条直线平行的充要条件”是高考的重点之一, 教材中给出的结论是:当直线L1和L2有斜截式方程:L1:y=k1x+b1, L2:y=k2x+b2时, 两直线平行的充要条件是k1=k2且b1≠b2.显然, 在运用这个结论解决有关两条直线平行的问题时, 还需要讨论斜率不存在的情况.一般形式下两条直线平行的充要条件, 在运用时可以避免分类讨论, 可惜教材中没有给出.一些教辅资料给出了一般形式下两条直线平行的充要条件, 但是, 有些是错误的.常见的错误有:若两条直线的方程分别为L1:A1x+B1y+C1=0 (A1, B1不全为0) , L2:A2x+B2y+C2=0 (A2, B2不全为0) , 则L1//L2的充要条件是:其一, (错误的原因是忽视了A2x+B2y+C2=0中的三个系数不一定均不为0) ;其二, A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 (错误的原因是排除了斜率不存在的情况) ;其三, A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0 (错误的原因是排除了斜率为0的情况) ;其四, A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0, B1C2-B2C1≠0 (错误的原因是排除了斜率不存在和斜率为0两种特殊情况) .以下给出一般形式下两条直线平行的充要条件及其证明.
[定理]若两直线方程分别为L1:A1x+B1y+C1=0 (A1, B1不全为零) , L2:A2x+B2y+C2=0 (A2, B2不全为零) , 则L1//L2的充要条件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 (B1C2-B2C1≠0) .
[证明]1.充分性. (1) ∵A1C2-A2C1≠0且B1C2-B2C1≠0, ∴A1与A2、B1与B2均不同时为0, 又∵A1B2-A2B1=0, ∴A1、A2、B1、B2都不为0 (假若A1=0, 则A2、B1中至少有一个为0) .又∵, ∴k1=k2≠0.∵B1C2-B2C1≠0, ∴, 所以L1//L2.即
即L1//L2圯A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 (B1C2-B2C1≠0) .
1. 连接每双对应点的直线全通过一点S;
2. 每双对应点或都在点S的同侧,或都在点S的异侧;
3. 如果点A′和B′是图形F′上的任意两点,点A和B是图形F上它们的对应点,则SA′∶SA=
SB′∶SB.
则说图形F′位似(即形状相似且位置相似)于图形F,其中点S叫做相似中心(或位似中心),比例常数K =SA′SA=SB′SB=…叫做图形F′对于图形F的相似系数(或位似系数,或位似比).
定理 两个二次曲线C1:ρ=e1p11-e1cosθ,C2:ρ=e2p21-e2cosθ以极点O为一个位似中心位似的充要条件是离心率相等.
证明 充分性:设C1:ρ=e1p11-ecosθ,C2:ρ=e2p21-ecosθ,且e1=e2.
如右图,在C1上任取两点A,B,分别连结OA,OB,交C2于点A′,B′,
则点A′,B′分别为点A,B的对应点,且∠xOA′=
∠xOA,∠xOB′=∠xOB,
则OA′OA=e2p2(1-e1cos∠xOA)(1-e2cos∠xOA′)e1p1=p2p1,
OB′OB=e2p2(1-e1cos∠xOB)(1-e2cos∠xOB′)e1p1=p2p1,
所以OA′OA=OB′OB=p2p1.
由点A,B的任意性,知C1和C2以极点O为一个位似中心位似,且位似比为p2p1.
必要性:设C1:ρ=e1p11-e1cosθ,C2:ρ=e2p21-e2cosθ以极点O为一个位似中心位似,
在C1上任取一点A,连结OA,交C2于点A′,则点A′为点A的对应点,OA′OA=K为定值,且∠xOA′=∠xOA.
所以e2p21-e2cos∠xOA′•1-e1cos∠xOAe1p1=K恒成立,
所以(e2p2-Ke1p1)-e1e2(p2cos∠xOA-Kp1cos∠xOA′)=0恒成立,
只须p2-Kp1=0,e2p2-Ke1p1=0,
所以e1=e2,且位似比K=P2P1.
致：观山湖区建设工程质量监督站
开发建设的贵阳市公安局业务技术用房、贵阳市公安局公交分局业务技术用房、贵阳市金阳新区禁毒教育基地、贵阳市禁毒情报站项目（项目名称）施工现场拆迁工作已经结束，且 “三通一平”工作已经完成，已具备开工条件。
特此证明！
XXX，身份证号：
父亲：XXX身份证号：
母亲：XXX身份证号：
XXX现处于法定接受义务教育的年龄阶段，因其父母均长期在北京务工，家乡无人监护，拟在贵地其父母身边就近入学就读，望贵地教育管理部门给予安排就读。
此致
敬礼
与为关系，该生因家人在外打工，家中无人监护，须随父母在外就读。
特此证明
村委会盖章
(一) 认股权证溢价
认股权证是由股份公司发行的, 持有人能够按照特定的价格, 在特定时间内购买该公司一定数量股票 (通常为普通股) 的选择权凭证。
认股权证溢价是认股权证实际价值超过其理论价值的差额。其中, 理论价值一般指认股权证应该具有的价值, 简单计算公式为: (普通股的预计市场价格或内在价值-执行价格) ×认股权证一份可以认购的普通股股数;实际价值一般指认股权证在其有效期内某一考察时期 (或时点) 具有的价值, 简单计算公式为: (普通股的实际市场价格-执行价格) ×认股权证一份可以认购的普通股股数。
(二) 认股权证溢价研究的必要性
认股权证被较多的杂志和教材涉及, 但认股权证溢价却很少被提及。经过对截至2009年的重要财经杂志进行检索, 没有发现认股权证溢价的相关研究成果。所看到的在我国比较流行的几本西方财务管理教材, 只发现斯蒂芬·A·罗斯等[1]提及了认股权证, 但对认股权证溢价只字未提。我国财务管理教材对认股权证溢价进行研究的也不多见: (1) 认股权证溢价的数额。赵德武等[2]、叶陈刚等[3]和宋献忠等[4]认为, 认股权证超理论价值的溢价是实际价值超理论价值的差额 (或部分) 。刘志远[5]认为, 认股权证溢价是认股权证市场价值大于理论价值的差额。 (2) 认股权证溢价的最大化条件。叶陈刚等[3]、宋献忠等[4]和刘志远[5]提出, 在股票市场价格接近或者等于履约价格 (或认购价格) 时, 溢价达到最大。叶陈刚等[3]进一步给出了简单的证明。
上述研究为我们提供了借鉴, 但也存在以下主要不足: (1) 在计算认股权证的投资收益率时, 仅考虑了购买认股权证的投资[4], 忽略了以执行价格购入普通股所发生的这部分支出。实际上, 投资认股权证并获益需要经过3个阶段, 即:购买认股权证, 凭借认股权证以执行价格购买普通股, 高价卖出普通股, 也就是说完整的认股权证投资应该包括购买认股权证和以执行价格购入普通股这两部分支出。 (2) 对认股权证溢价之所以存在, 特别是存在条件毫无涉及。 (3) 对溢价在股票市场价格接近或者等于履约价格 (或认购价格) 时达到最大的条件没有给出有力的证明。同时由于研究认股权证溢价具有很强的理论价值和现实指导意义, 特别是研究其存在条件和最大化条件, 可以为我们在进行认股权证投资时及时地捕捉投资时机, 提供十分重要的参考。
鉴于此, 本文在吸收现有研究的长处, 全面考虑认股权证投资的基础上, 对认股权证溢价的存在条件、最大化条件等问题进行探讨, 并给出了比较清晰的证明。
二、认股权证溢价的存在条件及其证明
(一) 认股权证溢价的存在条件
认股权证溢价的存在是以非理性需求为前提的, 也就是说非理性需求的存在使认股权证的实际价值高于其理论价值。
(二) 认股权证溢价存在条件的证明
某公司规定, 认股权证持有者可以以每股10元的价格每权购买一股普通股, 此时普通股的内在价值为15元。一年后普通股的每股市价上升到30元。现有两个投资者, 甲投资于认股权证, 乙投资于普通股。我们通过比较这两个投资者一年后不同情况下的投资收益率来进行证明。
根据资料, 认股权证的理论价值= (15-10) ×1=5 (元) 。
第一种情况。甲、乙投资额相等, 也就是说甲购买认股权证以及按执行价格购买普通股的总支出等于乙购买普通股的总支出。假设两者的投资额均为195元。
1. 当认股权证实际价值低于其理论价值时 (假设认股权证的实际市场价格为3元)
(1) 甲总投资额为195元, 其中45元用于购买认股权
证, 150元用于行权购入股票。
甲购买的认股权证数=54/3=15 (权) ;
甲行权购入的股票数=150/10=15 (股) ;
甲一年后的利润=15×30-15×10-15×3=255 (元) ;
甲的总投资收益率=投资利润/总投资=投资利润/ (认股权证购买支出+购买普通股执行价格支出) =255/ (3×15+10×15) =255/195=130.77%。
(2) 乙总投资额为195元, 全部用于购入股票。
乙购买的普通股数=195/15=13 (股) ;
乙一年后的利润=13×30-13×15=195 (元) ;
乙的总投资收益率=195/195=100%。
(3) 甲、乙投资收益率的差额=130.77%-100%=30.77%。
2. 当认股权证实际价值等于其理论价值时 (假设认股权证的实际市场价格为5元) 。
(1) 甲总投资额为195元, 其中65元用于购买认股权证, 130元用于行权购入股票。
甲购买的认股权证数65/5=13 (权) ;
甲行权购入的普通股数=130/10=13 (股) ;
甲一年后的利润=13×30-13×10-13×5=195 (元) ;
甲的总投资收益率=投资利润/总投资=投资利润/ (认股权证购买支出+购买普通股执行价格支出) =195/ (5×13+10×13) =195/195=100%。
(2) 乙的投资、利润和投资收益率与“第一种情况。1. (2) ”情况相同。
乙的总投资收益率=195/195=100%。
(3) 甲、乙投资收益率的差额=100%-100%=0。
3. 当认股权证实际价值高于其理论价值时 (假设认股权证的实际市场价格为6.25元) 。
(1) 甲总投资额为195元, 其中75元用于购买认股权证, 120元用于行权购入股票。
甲购买的认股权证数75/6.25=12 (权) ;
甲行权购入的普通股数=120/10=12 (股) ;
甲一年后的利润=12×30-12×10-12×6.25=165 (元) ;
甲的总投资收益率=投资利润/总投资=投资利润/ (认股权证购买支出+购买普通股执行价格支出) =165/ (6.25×12+10×12) =165/195=84.62%。
(2) 乙的投资、利润和投资收益率与“第一种情况。1. (2) ”情况相同。
乙的总投资收益率=195/195=100%。
(3) 甲、乙投资收益率的差额=84.62%-100%=-15.38%。
经过分析, 我们发现, 在甲、乙投资额相等的情况下, 当认股权证的实际价值低于其理论价值时, 认股权证的投资收益率为130.77%, 高于普通股;当认股权证的实际价值等于其理论价值时, 认股权证的投资收益率为100%, 与普通股相同;当认股权证的实际价值高于其理论价值时, 认股权证的投资收益率为84.62%, 低于普通股。
第二种情况。甲、乙投资额
不相等, 但初始投资额相等, 也就是说甲购买认股权证的支出等于乙购买普通股的支出, 此时乙购买普通股的初始支出也就是他的总支出。假设两者的初始投资额均为60元。
1.当认股权证实际价值低于其理论价值时 (假设认股权证的实际市场价格为3元) 。
(1) 甲总投资额为260元, 其中初始投资60元用于购买认股权证, 200元用于行权购入股票。
甲购买的认股权证数=60/3=20 (权) ;
甲行权购入的普通股数200/10=20 (股) ;
甲一年后的利润=20×30-20×10-20×3=340 (元) ;
甲的总投资收益率=投资利润/总投资=投资利润/ (认股权证购买支出+购买普通股执行价格支出) =340/ (3×20+10×20) =340/260=130.77%。
(2) 乙总投资额, 或者初始投资均为60元, 用于购入股票。
乙购买的普通股数=60/15=4 (股) ;
乙一年后的利润=4×30-4×15=60 (元) ;
乙的总投资收益率=60/60=100%。
(3) 甲、乙投资收益率的差额=130.77%-100%=30.77%。
2.当认股权证实际价值等于其理论价值时 (假设认股权证的实际市场价格为5元) 。
(1) 甲总投资额为180元, 其中初始投资60元用于购买认股权证, 120元用于行权购入股票。
甲购买的认股权证数60/5=12 (权) ;
甲行权购入的普通股数=120/10=12 (股) ;
甲一年后的利润=12×30-12×10-12×5=180 (元) ;
甲的总投资收益率=投资利润/总投资=投资利润/ (认股权证购买支出+购买普通股执行价格支出) =180/ (5×12+10×12) =180/180=100%。
(2) 乙的投资、利润和投资收益率与“第二种情况。1 (2) ”情况相同。
乙的总投资收益率=60/60=100%。
(3) 甲、乙投资收益率的差额=100%-100%=0。
3.当认股权证实际价值高于其理论价值时 (假设认股权证的实际市场价格为7.5元) 。
(1) 甲总投资额为140元, 其中初始投资60元用于购买认股权证, 80元用于行权购入股票。
甲购买的认股权证数60/7.5=8 (权) ;
甲行权购入的普通股数=80/10=8 (股) ;
甲一年后的利润=8×30-8×10-8×7.5=100 (元) 。
甲的总投资收益率=投资利润/总投资=投资利润/ (认股权证购买支出+购买普通股执行价格支出) =100/ (7.5×8+10×8) =100/140=71.43%。
(2) 乙的投资、利润和投资收益率与“第二种情况。1 (2) ”情况相同。
乙的总投资收益率=60/60=100%。
(3) 甲、乙投资收益率的差额=71.43%-100%=-28.57%。
经过分析, 我们发现, 在甲、乙投资总额不等但初始投资额相等的情况下, 当认股权证的实际价值低于其理论价值时, 认股权证的投资收益率为130.77%, 高于普通股;当认股权证的实际价值等于其理论价值时, 认股权证的投资收益率为100%, 与普通股相同;当认股权证的实际价值高于其理论价值时, 认股权证的投资收益率为71.43%, 低于普通股。
综合上述, 我们可以知道, 不管甲、乙投资额相等与否, 两种情况得出的结论相似:当认股权证的实际价值低于其理论价值时, 认股权证的投资收益率高于普通股;当认股权证的实际价值等于其理论价值时, 认股权证的投资收益率与普通股相同;当认股权证的实际价值高于其理论价值时, 认股权证的投资收益率低于普通股。为什么会存在这种情况呢?
接下来让我们分析一下, 伴随着认股权证实际价值逐渐提高直至高于其理论价值这一过程, 认股权证收益率逐渐降低直至低于普通股收益率甚至趋于零的原因。
1.理性需求 (或者有效需求) 不足直至全部得到满足, 或者说非理性需求为零的情况下, 溢价无从存在。当认股权证的实际价值低于其理论价值并且认股权证的投资收益率高于普通股的投资收率时, 理性需求不足, 投资者会竞相投资认股权证, 促使认股权证的实际价值上升直至等于其理论价值。当认股权证的实际价值等于其理论价值时, 认股权证的投资收益率等于普通股的投资收益率, 此时理性需求饱和, 也就是说理性需求全部得到满足, 或者说非理性需求为零, 认股权证的溢价也归为零。
2.投资惯性导致非理性需求存在, 此时溢价产生。循着上一阶段投资狂热的惯性, 由于一部分投资者盲目跟风, 或者投资过多无法及时收回, 形成了对认股权证的过剩需求, 或者称为非理性需求、无效需求, 使得认股权证的实际价值进一步上升, 超过其理论价值, 形成了溢价。
3.非理性需求是溢价存在的条件。上述分析表明, 非理性需求导致溢价产生, 但溢价在完善的市场中决不会长久, 因为溢价存在时认股权证的投资收益率低于普通股的投资收益率, 此时理性投资者会将投资从认股权证转向普通股, 从而认股权证实际价值会逐渐降低直至等于其理论价值, 导致溢价消失。可见溢价为零应该是完善市场条件下的常态, 也就是说在市场完全有效和投资者完全理性的情况下, 溢价是不会存在的。只有投资者非完全理性和市场非完全有效, 最终导致对认股权证的过剩需求 (或者非理性需求) 的条件下, 溢价才会存在。
总之, 当认股权证的实际价值低于其理论价值时, 认股权证的高收益率会促使投资者抛弃普通股而追捧认股权证, 有效需求的增加使其实际价值上升直至等于其理论价值, 此时有效需求全部得到满足, 溢价为零。如果此时对认股权证的需求继续增加, 就会出现无效需求, 使认股权证的实际价值高于其理论价值, 此时溢价产生。接下来, 当认股权证的实际价值高于其理论价值时, 认股权证的低收益率会促使投资者抛弃认股权证而追捧普通股, 无效需求的减少使其实际价值下降直至等于其理论价值, 此时无效需求和溢价同时归零。因此我们已经证明, 只有认股权证的过剩需求 (或者非理性需求) 才是其溢价存在的前提或者条件。
三、认股权证溢价的最大化条件及其证明
(一) 认股权证溢价的最大化条件
当普通股的预计市场价值或者内在价值等于或者接近其执行价格 (或者履约价格) 时, 认股权证溢价达到最大。
(二) 认股权证溢价最大化条件的证明
某公司规定, 认股权证持有者可以以每股10元的价格每权购买一股普通股, 一年后普通股的每股市价上升到30元。我们通过比较一年后不同情况下的认股权证溢价来进行证明。
1. 普通股内在价值低于其执行价格的情况 (假设普通股内在价值为8元) 。
(1) 认股权证的理论价值= (8-10) ×1=-2 (元) 。
如果普通股内在价值低于其执行价格, 认股权证的价值为负数, 没有投资价值。此时投资者不会购买认股权证, 股份公司只有免费赠送, 因此认股权证的理论价值最低只能为零。
(2) 一年后认股权证的实际价值 (30-10) ×1=20 (元) 。
(3) 认股权证的溢价=20-0=20 (元) 。
2. 普通股内在价值等于其执行价格的情况 (假设普通股内在价值为10元) 。
(1) 认股权证的理论价值= (10-10) ×1=0 (元) 。
(2) 一年后认股权证的实际价值= (30-10) ×1=20 (元) 。
(3) 认股权证的溢价=20-0=20 (元) 。
3. 普通股内在价值高于其执行价格的情况 (假设普通股内在价值为15元) 。
(1) 认股权证的理论价值= (15-10) ×1=5 (元) 。
(2) 一年后认股权证的实际价值= (30-10) ×1=20 (元) 。
(3) 认股权证的溢价=20-5=15 (元) 。
4. 普通股内在价值更高于其执行价格的情况 (假设普通股内在价值为20元) 。
(1) 认股权证的理论价值= (20-10) ×1=10 (元) 。
(2) 一年后认股权证的实际价值= (30-10) ×1=20 (元) 。
(3) 认股权证的溢价=20-10=10 (元) 。
综上所述, 当普通股的预计市场价值或者内在价值低于其执行价格时, 认股权证的价值为负数, 此时认股权证对投资者来说毫无意义, 投资者决不会持有, 作为股份公司只能免费赠送, 但公司绝不会干赠送认股权证再搭送现金的傻事 (因为认股权证的价值为负值) , 因此认股权证的最低价值只能为零。也就是说普通股内在价值低于其执行价格的情况与普通股内在价值等于其执行价格的情况, 两者实际上是一回事, 两种情况下认股权证的价值均为零。但股份公司显然不愿意发行普通股内在价值低于其执行价格的认股权证, 因为一则对投资者毫无价值, 二则股份公司费力不讨好。况且, 根据发达市场上普通股的表现及其有关理论, 在理性市场上内在价值低于其执行价格的普通股很少能够表现出比执行价格高的实际市场价值 (当然在市场出现过热、不完善或者投机行为极端活跃等不良反应时, 另当别论) 。因此理性的股份公司会选择发行普通股内在价值大于或者等于其执行价格的认股权证。由上述证明、分析的过程和结论可以看出, 普通股内在价值等于其执行价格下的认股权证溢价要大于普通股内在价值高于其执行价格下的认股权证溢价, 并且达到最大。因此我们就证明了在普通股内在价值等于或者接近其执行价格时认股权证溢价达到了最大, 或者说认股权证溢价达到最大的条件就是普通股内在价值等于或者接近其执行价格。
四、小结
总括全文, 可以得出如下结论:认股权证溢价以非理性需求的存在为条件, 它在普通股内在价值等于或者接近其执行价格时达到了最大。这些结论不仅能够完善现有研究的不足, 同时有利于我们及时地捕捉投资时机, 可以作为认股权证投资的重要参考。
参考文献
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[3]叶陈刚, 向正军.财务管理学[M].武汉:武汉大学出版社, 2000:167.
[4]宋献忠, 吴思明.中级财务管理[M].大连:东北财经大学出版社, 2002:207-208.
命题： 椭圆四点共圆的充要条件是该四点证明题连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线中的两条直线倾斜角互为补角 。
证明：设椭圆为：mx?+ny?=1，（mn≠0）
A、B、C、D依次为曲线上的四点，两组对边为AB/CD、BC/AD，两条对角线为AC/BD，三对直线中任一对直线方程设为：
y=k1x+b1 （k1≠0）， y=k2x+b2 （k2≠0），
则过任意一对直线与椭圆的4个交点的二次曲线系方程为：
mx2+ny2-1+λ（y-k1x-b1）（y-k2x-b2）=0 （λ为参数）
整理得：
（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2-λ（k1+k2）xy+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+
λb1 b2-1=0 ①
（Ⅰ）充分性证明：
当三对直线中任一对直线的倾斜角互补时，k1+k2=0，则方程①变为：
（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+λb1 b2-1=0
令 则：
即必存在λ0= ，使得方程①为圆的方程，
故A、B、C、D四点共圆；
（Ⅱ）必要性证明：
当A、B、C、D四点共圆，则方程①不应含有交叉项xy，
故 -λ（k1+k2）=0， ∴ k1+k2=0，
即三对直线中任一对直线的倾斜角互补。
由（Ⅰ） （Ⅱ）知，上述命题成立。
同理，可以证明双曲线四点共圆的充要条件也是该四点连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线中的两条直线倾斜角互为补角。
利用这一命题，在做题时可以节省很多时间。如：武汉市2016年2月高三调考的数学选择题中曾出现一道题（给出的标准答案是先证明A、B、C、D四点共圆，略显复杂）：
设直线y=3x-2與椭圆Г： =1交于A、B两点，过A、B的圆与椭圆Г交于另外两点C、D，则直线CD的斜率k为（ ）。
A.- ；B.-3 ；C. ； D.-2；答案：B
参考文献：
[1]张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究[J].数学教学 2012，7.
[2] 田富德 陈琛. 圆锥曲线中一个四点共圆性质[J].中学数学研究 2014，4.
【摘要】椭 圆上四点共圆的充要条件是该四点连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线的倾斜角互为补角。本文用较简单的方法对这一命题进行了证明。恰到好处地利用这一命题，会节省考试中的宝贵时间。
【关键词】 圆锥曲线； 四点共圆；充要条件； 高考复习；
西安市教育局：
现有我辖区适龄儿童（少年）：姓名，性别，身份证号
，户口所在地，其父姓名，身份证号，现在西安 单位工作，均签有正规劳动合同或已经取得合法营业执照，并且在西安有稳定的居所（已经取得所购房屋产权证或签署了正规的房屋租赁合同），目前该适龄儿童（少年）在户籍所在地已无监护条件。
特此证明
经办人：
联系电话：
街道办事处或乡镇人民政府（公章）
1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等． 证明：设G??V,E?，??V,E??．则E?是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结
点u?V，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n?1(?2)度），于是若u?V在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．
k条边才能使其成为欧拉图．
2证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．
又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图． 2
五、证明题
1．试证明集合等式：A?(B?C)=(A?B)?(A?C)．
证：若x∈A?(B?C)，则x∈A或x∈B?C，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．
即x∈A?B且x∈A?C，即x∈T=(A?B)?(A?C)，所以A?(B?C)?(A?B)?(A?C)．
反之，若x∈(A?B)?(A?C)，则x∈A?B且x∈A?C，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈B?C，即x∈A?(B?C)，所以(A?B)?(A?C)? A?(B?C)．
因此．A?(B?C)=(A?B)?(A?C)．
2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A?B = A?C，且A??，则B = C．
证明：设x?A，y?B，则
设x?A，z?C，则
故得B = C．
3、设A，B是任意集合，试证明：若A?A=B?B，则A=B．
许多同学不会做，是不应该的．我们看一看
证明：设x?A，则
设x?B，则
故得A=B．
2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加
1．试证明命题公式(P?(Q??R))??P?Q与?（P??Q）等价．
证：(P?(Q??R))??P?Q?(?P?(Q??R))??P?Q
?((?P?Q??R)??P)?Q
??P?Q（吸收律）
??(P??Q)（摩根律）
2．试证明(?x)(P(x)?R(x))?(?x)P(x)?(?x)R(x)．
分析：前提：(?x)(P(x)?R(x))，结论：(?x)P(x)?(?x)R(x)．
证明(1)(?x)(P(x)?R(x))P
(2)P(a)?R(a)ES(1)(存在指定规则)
(3)P(a)T(2)（化简）
(4)(?x)P(x)EG(3)(存在推广规则)
(5)R(a)T(2)（化简）
(6)(?x)R(x)EG(5)(存在推广规则)
(7)(?x)P(x)?(?x)R(x)T(4)(6)（合取引入）
2．设集合A={1,2,3,4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．
(1)f={<1, 4>,<2, 2,>,<4, 6>,<1, 8>}；(2)f={<1, 6>,<3, 4>,<2, 2>}；
(3)f={<1, 8>,<2, 6>,<3, 4>,<4, 2,>}．
解：(1)f不能构成函数．
因为A中的元素3在f中没有出现．
(2)f不能构成函数．
因为A中的元素4在f中没有出现．
(3)f可以构成函数．
因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．
三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
解：设P：今天是天晴；
则命题公式为： P．
问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P?Q．
注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“?”．
3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P?Q．
注意：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．
例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．
4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．
1．如图，在四棱锥P－ABCD中，M、N分别是AB、PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN//平面PAD．
P
C
A
M
2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.求证：PB//平面 AEC；
3、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，O
是底面ABCD
对角线的交点.求证：C1O//平面AD1B1.4.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：5.如图，在正方体ABCD?A1BC11D1中，EF//平面BB1D1D．
一、当被证明的两条线段是交于它们的端点时, 我们可以利用“等角对等边”和“中垂线的性质定理”等知识点来证明, 下面我们来看两个例题.
例1:在△ABC中, AD⊥BC于点D, 且AD平分∠BAC, 求证:AB=AC.
证明:∵ AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
又 ∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴∠B=∠C (三角形的内角和为180°)
∴AB=AC
例2:在正方形ABCD中, E为BD上任意一点, 连接EA、EC,
求证:EA=EC.
证明:连接AC交BD于点O
∵ 正方形ABCD中
∴ AC⊥BD, OA=OC
∴ BD为AC的中垂线
又 ∵点E在BD上
∴EA=EC
二、当被证明的两条线段相交时 (端点不重合) 或位置关证明题系明显不平行时, 可以利用证明两个三角形全等的方法来证明线段相等.
例3:在平行四边形ABCD中, E为BC上一点, 且AB=AE,
求证:AC=ED.
证明:∵ 平行四边形ABCD中
∴ AD//BC, AD=CB
∴ ∠DAE=∠AEB
又 ∵ AB=AE
∴∠CBA=∠AEB
∴∠CBA=∠DAE
∴△ABC≌△EAD (SAS)
∴ AC=ED
三、当被证明的两条线段不相交时, 但是从图中可以估计位置关系为平行时, 可以考虑用证明特殊的四边形的方法来证明线段相等.
例4:如图:DB//AC, 且
求证:BC=DE.
证明:∵ E是AC的中点, DB//AC
∴四边形BCED为平行四边形
∴BC=DE
以上我们介绍了三种情况, 并不是都只能利用其中的某一种方法, 我们可以根据题目的条件利用其中的几种方法, 下面我们来看一个利用方法一和方法三解决的题目.
例5:如图:在正方形ABCD中, E为BD上一点, 过点E分别作EF⊥BC、 EH⊥DC垂足为F、H, 连接EA、HF, 求证:AE=HF.
分析:本题要证AE=HF, 如果按上述方法, 我们要证包含线段AE、HF的两个三角形全等, 显然图中没有这样的三角形, 但是根据例1的思路我们可以想到EA=EC, 从而思考是否可以利用EC作中间的转换量, 那需要证EC=HF, 从而可以发现, 只需要证明四边形EFCH为矩形即可.
证明:连接EC、AC交BD于点O
∵ 正方形ABCD中
∴ AC⊥BD, OA=OC, ∠BCD=90°
∴ BD为AC的中垂线
又 ∵点E在BD上
∴EA=EC
又 ∵ EF⊥BC、 EH⊥DC
∴∠EFC=∠EHC=90°
∴ 四边形EFCH为矩形
∴ EC=HF
1-1. (改编)若a1,a2∈(0,+∞),则有不等式≥2成立.此不等式能推广吗?请你至少写出两个不同类型的推广.
2. (苏教版选修2-2P62例1)已知数列{an｝的每一项均为正数,a1=1,a2 n+1=a2 n+1(n=1,2,…),试归纳出数列{an｝的一个通项公式.
2-1. (改编)已知数列{an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2),求an的表达式.
3. (苏教版选修2-2P66练习3)先解答(1),再通过类比解答(2).
(1) 已知正三角形的边长为a,求它的内切圆的半径r;
(2) 已知正四面体的棱长为a,求它的内切球的半径r.
3-1. (改编)如图甲,在△ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD•BC.
类似地,如图乙,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,若A在△BCD内的射影为O,试写出一个关于SΔABC,SΔBCD,SΔBCO的等式,并判断其是否成立.
3-2. (改编)已知问题为:已知等差数列{an｝的通项公式为an=61-2n,问数列{an｝的前多少项和最大?
其解答为:由an=61-2n>0,得n<30.5,即{an}从第1项到第30项均为正数,从第31项始均为负数,故其前30项和最大.
已知等比数列{bn｝的通项公式为bn=65•n-1,类比上述问题和解答,提出一个关于数列{bn｝的问题并给出解答.
4. (苏教版选修2-2P69例2)已知a,b,m均为正实数,且b 4-1. (改编)已知某容器中的a g食盐溶液中含b g纯食盐,在这个容器内再加入m g纯食盐,得到新的食盐溶液,试根据加盐前后的两种食盐溶液所含食盐的浓度,列出一个不等式. 4-2. (改编)>,>,>,>,…,请由此归纳出一个不等式,并说明其是否成立. 4-3. (改编)已知a>0,b>0,函数=(x∈[0,+∞)). (1) 若为增函数,试比较实数a,b的大小; (2) 在(1)的条件下,试证明:f(1)f(2)…f(n)>n(n∈N*). 4-4. (改编)设b>a>1,d>0,求证:logab>loga+d(b +d). 4-5. (改编)已知数列{an｝,{bn｝满足an=n,bn=2n,求证:当n>2,m>0时,不等式<成立. 5. (苏教版选修2-2P84习题2.2第9题)证明:1,,3不可能是一个等差数列中的三项. 5-1. (改编)试否存在实数a,使得三个数1,a,3不可能是一个等差数列中的三项?若存在,试求出一个这样的实数a;若不存在,请说明理由. 5-2. (改编)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,公差d=2. (1) 求数列{an}的通项an及前n项和Sn; (2) 设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 6. (苏教版选修2-2P118复习题第5题)已知z1,z2是两个虚数,并且z1+z2与z1z2均为实数,求证:z1,z2是共轭复数. 6-1. (改编)已知z1,z2是两个虚数,求证:“z1+z2与z1z2均为实数”的充要条件是“z1,z2是共轭复数”. 6-2. (改编)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个虚根,求证:两个虚根是共轭复数. 1. <(a,b,m均为正实数且b 说明 其实,从由特殊例子归纳发现更一般规律的角度看,这里还可以有以下几种猜想:<(n∈N*);<(n∈N*,a>0).而且对保证真命题的条件的探索也是一种值得学习的技能.如这里要保证<为真命题,就必须给出a,b,m的制约条件,而这里给出的是a,b,m均为正实数且b 1-1. 推广一:(对数的个数进行推广)若a1,a2,…,an∈(0,+∞),则有不等式≥2 (n∈N*,且n≥2)成立. 推广二:(对数的幂次数进行推广)若a1,a2∈(0,+∞),则有不等式≥n(n∈N*,且n≥2)成立. 推广三:(对两者同时进行推广)若a1,a2,…,an∈(0,+∞),则有不等式≥n(n∈N*,且n≥2)成立. 2-1. a1=1•2•3,① a1+2a2=2•3•4,② a1+2a2+3a3=3•4•5,③ a1+2a2+3a3+4a4=4•5•6,④ …. 由①,得a1=6, ②-①,得2a2=(4-1)•2•3,即a2=9, ③-②,得3a3=(5-2)•3•4,即a3=12, ④-③,得4a4=(6-3)•4•5,即a4=15. 通过对数列6,9,12,15的观察,可以猜想an=3n+3.用数学归纳法或代入检验法可以证明(过程略). 从上面的归纳过程,还可看出求a2,a3,a4的方法都是用相邻的两式相减, 故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1), a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2), - ,得nan=3n(n+1),所以an=3n+3. 说明 归纳推理既可以用于对结果的探索,也可以用于对解决过程的探索.因此,“特殊化”作为一种思维策略是非常有用的. 3. (1) 将内切圆圆心与三角形的三个顶点连结,从而三角形被分成三部分.由三部分的面积和等于原三角形的面积,可构造等式(a+b+c)r=absinC, 即可解得r.而本例中a=b=c,C=60°,故r=a. (2) 类比(1),将内切球球心与正四面体的四个顶点连结,从而正四面体被分成四部分.由四部分的体积和等于原正四面体的体积,可构造等式4•Sr=Sh,所以r=h(h为正四面体的高).又可求得h=a,故r=a. 3-1. S2 △ABC=S△BCO•S△BCD.它成立. 3-2. 问题:问数列{bn}的前多少项积最大? 解答:由bn=65•n-1>1,得n≤7,即{bn｝从第1项到第7项均大于1,从第8项开始均小于1,故其前7项积最大. 4-1. <. 4-2. >,当b>a>0,m>0时成立;或>,当n>0时成立. 4-3. (1)用函数单调性的定义或导数法. (2)反复运用(1)的结论,可得f(1)>f(0),f(2)>f(0),…,f(n)>f(0),再将这些同向不等式相乘即可. 4-4. logab-loga+d(b+d)=(logab-1)-[loga+d(b+d)-1]=loga-log>log-log= log•>log •=0,得证. 说明 从本题不等式的形式,可以看出与原题相比,这也是一种类比联想构造法:将除法运算类比到了对数运算.如果将其与反比例函数的图像、对数函数的图像进行对比分析,则在几何意义上的共通性就更为明显了. 4-5. 可以证明当n>4时,2n>n.运用第4-4题中的结论,可得>.而用错位相差法求和,可得=2-. 因为=<1(n>2),所以单调递减,即≤=(n>2),故>2-=. 5. 运用反证法,假设这三个数依次是一个等差数列的第m,n,p项,则由通项公式表示出这三项后,两两作差,消去首项与公差,得到=.左边为有理数,右边为无理数,矛盾. 说明 解本题时,运用的是无理数与有理数不可能相等这一事实.而这样的事实正是命题人构造新问题的出发点,2008年江苏卷第19题第(2)问正是基于这一思维过程而命制出来的.这说明课本中的例题、习题的功能需要开拓. 5-1. 运用第5题的思路,如果这三个数依次是一个等差数列的第m,n,p项,则可得到=.现要使此式不能成立,故只要等式右边为无理数即可,即只要是无理数,即只要a是无理数.所以这样的实数a存在. 5-2. (1) an=2n-1+,Sn=n(n+). (2) bn==n+. 假设{bn}中存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*且互不相同)成等比数列,则由b2 q=bpbr可得(q2-pr)+(2q-p-r)=0,则2q-p-r=0且q2-pr=0(否则,无理数与有理数相等,矛盾),从而有p=q=r,矛盾. 6. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d均为实数),由z1+z2与z1z2的虚部为0,可得b+d=0,ad+bc=0,得b=-d,ad-cd=0.又d≠0,所以a=c,所以z1,z2是共轭复数. 6-1. 必要性在第6题中已证.要证充分性,只要设出共轭复数z1,z2的代数形式,并计算出z1+z2与z1z2即可. 6-2. 方法一:用求根公式.
