具象思维（具象思维的人擅长什么）-九幽软件

引言

人工智能技术和应用火爆出圈，引起了各行各业热议，大模型、算法、数据集......这些词成为热词，而在这些热词的背后，都是“数学”[1]。在人工智能时代，数学越发重要。而在基础教育教学中，数学思维的培养尤其关键。为什么有的学生刷了成千上万道数学题，最后考试时还是会犯迷糊，其根本原因是其数学思维没有得到真正的培养。

数学思维的培养，小学是一个关键期。按照皮亚杰的理论，孩子在具体的运算发展阶段（7-11岁），推理过程变得具有逻辑性[2]。因此，在小学数学的教学中，如果有意识地培养孩子的数学思维，对孩子的数学素养和逻辑思维的提升具有重要的意义和价值。本文结合小学数学中的一些具体知识点，对小学教学中数学思维的培养进行一些初步的思考。

数学思维的内涵

数学思维是比较宽泛的概念，并未找到权威定义。我们认为是指一种以逻辑、分析、抽象和问题解决为基础的思考方式，通常与数学领域紧密相关，但也可以在许多其他领域中应用。就小学阶段数学教学而言，有以下一些相关思维可以关注。

（一）推理思维

数学中的推理思维是指在数学领域中使用逻辑和推理来分析问题、构建证明、解决方程和推断结论的思考方式。

（二）归纳思维

数学中的归纳思维是一种重要的思考方式，通常用于从特定情况或实例中归纳出事物的共性，得出一般性的规律、模式或结论。

（三）抽象到具象的思维

数学中的抽象到具象的思维是一种思考方式，它涉及将抽象的数学概念、符号和关系映射到实际世界中的具体问题、情境或示例。

（四）拓展思维

数学中的拓展思维是一种思考方式，旨在超越传统的数学框架和问题，探索新的数学领域、概念和方法。它强调创造性思维、跨学科的连接以及解决复杂问题的能力。

具象思维

（五）逆向思维

数学中的逆向思维是指一种反向推导和问题解决的方法，即尝试从所需的结论或问题开始逐步推导出必要的前提条件。

（六）分解思维

分解思维是一种将复杂问题或任务分解为更小、更易管理的子问题或子任务的思考方式。这种思维方式有助于在解决问题或执行任务时提高效率、降低复杂度，并更好地理解问题的各个组成部分。

（七）发散思维

在数学中，发散思维是一种非常重要的思考方式，它超越传统的思维模式，探索数学概念的不同方面，创造新的理论、方法和应用。

（八）联想思维

联想思维在数学教育和研究中都起着关键作用，帮助学生更深入地理解数学概念，解决复杂的数学问题，并推动数学领域的创新。通过培养联想思维，人们可以提高数学素养和解决实际问题的能力。

小学数学思维培养的具体做法

通过小学数学的具体教学内容，让孩子的学习变得轻松有趣，潜移默化，以润物细无声的方式培养孩子的数学思维。刚开始的时候，这些训练和启发对提高孩子的常规作业效率和考试成绩作用不大，但经过长期坚持，随着孩子学习深度加强，孩子的学习方法、学习能力和学习效率都能得到改善和提升，作业和考试自然不是问题。

（一）九九乘法表中的推理思维

就其本质来说，乘法是加法重复运算的简洁表达，就像次方是乘法重复运算的简洁表达。小学二年级开始学一位数乘法的时候，一般老师都要求学生完整且熟练地背诵九九乘法表，一共45条公式。而我讲述的方法让九九乘法仅背九条（见下图）就可以。

就是在做数学题的过程中，遇到需要乘法运算时，让孩子采用加法或减法推理的方式，不知不觉中就可以记住乘法表了，这样有以下几个好处：

一是能慢慢悟透乘法和加法以及减法之间的关系；

二是能培养学生的推理思维；

三是让简单的乘法摆脱机械记忆，变成有趣的数字游戏；

四是让学生自然而然理解乘法的分配律和交换律。

具体做法：

首先，让学生尝试理解乘法和加法的关系：A x B（当然，对小学二年级的学生可以结合课本内容，如采用三角形、圆圈、小红旗之类或者甲乙丙丁的图形，采用甲乙丙丁有个好处，以后过渡到字符也就是未知数就很顺畅）就是几个数相加（A个B或者B个A。其实这已经涉及乘法交换律，但对二年级学生不必急于讲解）的意思。

例如：2 x 2就是2个2相加，或简单表达为2个2。

9 x 7就是9个7相加，或者是7个9相加。

其次，遇到乘法运算时，如果是遇到图1中黄色部分的题目，如“9x9=？”，由于学生背诵过，则可以直接得出答案。

如果不是黄色部分的题目，如“2x8=? ”，则通过加法或减法推理出来。在推理的过程中，把相关的乘法公式也可以同时背一遍。

例如“2x8=? ”这道题，则有以下推理方法：

（1）加法推理

用加法来推理，是以小的数字公式为基础进行推理。

（2）减法推理

减法推理是以大数为基础进行，逐步减少的推理方法。

同样道理，只要在草稿纸上写必要的算式，能通过思考做出推理即可。

这些推理乍看是让孩子在解题的过程中绕了弯路，但好处是让孩子的作业不那么枯燥，似乎是在和数字玩游戏。这就要求老师布置作业的量少一些，给孩子更多思考的时间。归根结底就是让孩子的机械背诵少一些，推理思考多一些，自然而然就训练了孩子的推理思维。通过推理将乘法表的口诀像顺藤摸瓜一样，一个个带出来，孩子自然就记住了，根本不用死记硬背。

（二）一个顶五个的归纳思维

归纳思维的要点就是找出不同事物之间的共同点。小学的面积公式有5个要背诵。运用归纳思维，让孩子背诵5个公式变成背诵1个公式即可，轻松有趣。

长方形面积=长×宽

正方形面积=边长×边长

平行四边形面积=底×高

三角形面积=底×高÷2

梯形面积=（上底+下底）×高÷2

通过观察图形，找到它们的共同点，发现求面积背诵1个公式就可以了，那就是：梯形面积=（上底+下底）×高÷2。

其他图形都可以当成梯形来推导得出：

三角形（上底为0），面积=（0+底）×高÷2 = 底×高÷2。

长方形和平行四边形（上底和下底相等），因此：

平行四边形面积=（底+底）×高÷2=底×高；

长方形=（长+长）×宽÷2=长×宽；

正方形的上底、下底和高都相等，面积=（边长+边长)×边长÷2=边长×边长。

按照这样的方法，原来需要背诵5次的公式，只需要记1次，既轻松又简单，而且把图形之间的共同点和联系也理清楚了。

（三）数列和梯形的数形结合思维

在小学数学中，讲到梯形面积的时候，有一道题目如下：

木材场常常把木材堆成下图的形状。试算出图中木材的根数, 并用梯形的面积公式解释算法。

数学老师讲解时，一般直接讲解法：

(3+7)×5÷2=25（根）

其实在讲解这道题目的时候，老师可以再扩展一些，将数形结合的思维讲得更透彻一些。

（1）原题

如果用一、二年级的办法，可列式：3+4+5+6+7=25（根）。

教师在讲解的时候，可以让同学们观察思考每层木材数量之间的关系：从下往上看是从多到少，相差都为1。这其实是个等差数列，孩子们可能不太明白等差数列，但是也能大概听得懂。

（2）对题目稍作改变

① 改变每层之间的差，如改成差为2，每层自上而下为:3，5，7，9，11。

则总的根数，

直接计算为：3+5+9+7+11=35（根）；

用梯形公式：（3+11）×5÷2=35（根）。

发现此例子梯形公式还是适用。

② 对题目再进行改变，每层之间的差不固定，如每层为2，3，5，7，9，再看看会发现什么。

则总的根数，

直接计算为：2+3+5+7+9=26（根）；

用梯形公式：（2+9）×5÷2= （除不尽，不是整数）。

发现此例子梯形公式就不适用了。

所以，通过这几个例子拓展来给学生讲解：只有每层的木料堆放数是等差数列的时候，才能运用梯形面积公式。如果老师在讲解的时候，能准备一堆大小合适的小木棒让学生们探究，那效果就更好了。

这样，就把梯形公式“（上底+下底）×高÷2”和等差数列求和公式“(首项+末项）×项数÷2”联系在一起了。当孩子们上初中学到这个知识点的时候，如果遇到等差数列求和公式，就能联想到通过一堆木材用梯形面积公式的计算，自然而然就做到了数形结合，也不用死记硬背公式。

（四）不用背诵的长度单位——抽象到具象的思维

小学生学到长度单位的时候，老师会要求学生背诵一些常规单位之间的数量关系，如：1米=10分米；1分米=10厘米；1厘米=10毫米。

我告诉学生，除了1米=10分米稍微记一下，其他都不用背。

学生担心考试不会做题。我问：“考试带上直尺算舞弊吗？”

学生回答：“不算。”

我告诉学生：不用背长度单位之间的关系，做作业和考试的时候旁边放一把直尺，看一眼就知道它们之间的关系了。

这就是抽象到具象的思维。对于一个抽象概念，靠死记硬背比较枯燥，也不容易深刻理解，如果能和具体的事物联系起来，不仅能轻松记住要学习的知识，而且能把抽象概念与现实中的具体事物对照起来，便容易看清楚数学概念的本质。

（五）学科内和跨学科拓展思维

1. 数对教学中二维到三维的拓展

具象思维

通过数对（pair of numbers）讲解从二维拓展到三维的概念是一种很有趣和具有教育意义的方法，特别适用于小学老师在教学中引导学生理解数学的抽象概念。这个过程可以在孩子们的脑海中建立数学思维的基础，为未来学习更复杂的数学概念打下坚实的基础。

当小学老师使用座位来示范数对时，这是一个很直观的例子。老师可以告诉学生座位的行数和列数，以确定每个学生的位置。这种方法有助于孩子们理解平面坐标系中的概念，这是中学数学的一个关键主题。

然而，这个教学方法可以进一步扩展，将孩子们的思维从二维拓展到三维。这需要通过在数对中引入第三个数字（楼层）来实现。例如，老师可以提出以下问题：我们的教室在几楼呢？

如果教室在一楼，那么二楼是否有相应的座位位置呢？这时，我们可以引入第三个数字，表示楼层。这三个数字（楼层、行、列）就可以用来描述我们在三维空间的位置。

这个概念的重要性在于，它教会孩子们如何在不同维度的空间中定位和理解位置。这对于理解三维几何、立体图形、空间关系和更高级的数学概念都非常有用。此外，这种方法还可以启发孩子们的创造力，让他们思考三维世界中的问题，如建筑设计、地理空间和科学中的三维模型。

就这样，通过引入楼层的概念，可以将数对的教学拓展到三维，帮助孩子们建立对空间概念的深刻理解，为将来更高级的数学学习打下坚实的基础。这种联想思维的教学方法不仅有助于数学教育，还培养了学生的思维能力和问题解决能力。

2. 小学“旋转”知识点教学中数学到物理的拓展

在教授“旋转”这一数学概念时，有时候老师会侧重介绍旋转的三要素，即旋转中心点、方向和度数。这是一个重要的数学概念，但如果能够将它与物理世界中的具体情形相联系，将会让学生更好地理解和应用这一概念。

通常，老师会引入生活中的例子，如风车、风扇、旋转木马等，以帮助学生理解旋转的概念。然而，有一个更具挑战性但也更有教育意义的例子可以引入，即汽车轮子的旋转运动。

当老师提到汽车轮子时，通常会说轮子正在进行旋转运动。然而，这里出现了一个有趣的问题：旋转中心是否是一个固定的点？事实上，并不是。

汽车轮子的运动是一种平移和旋转兼具的复合运动。这意味着轮子既在绕轴线旋转，又在向前或向后平移。在这种情况下，旋转中心不再是一个固定点，因为轮子的运动涉及多个点，其中一个是轴心，而另一个则是轮胎与地面接触的点。这样的情形可以引发一个问题：轮子的运动到底是什么原理？

这时，老师可以适时地引入物理中的平移和旋转的概念。通过解释轮子的复合运动，即旋转和平移的结合，老师可以帮助学生更好地理解轮子的运动方式。平移表示轮子向前或向后移动，而旋转则表示轮子围绕自己的轴心旋转。这两种运动相互作用，产生了轮子的复杂运动。

这种关联讲解的方法不仅有助于学生更深入地理解数学中的旋转概念，还将数学与物理相结合，实现了学科之间的拓展，这也符合新的义务教育课程标准和方案中跨学科的要求[3]。学生不仅可以更好地理解数学，还能够应用这些概念解释和理解实际情况。最重要的是，这种教学方法有助于培养学生的综合思维和问题解决能力，使他们的思维更加开阔。

（六）逆向思维

小学数学课程的学习中逆向思维无处不在，乘法和除法、加法和减法都是相互可逆的运算。这里仅和一线教师分享一种模式，就是在解决完一些具有挑战性的题目后，可以让学生将题目的条件和答案调换，以此来训练学生的逆向思维，并加深对知识点的理解。下面通过一道面积题来说明。

题目：大小两个正方形，其中AD=14,三角形FAC面积是42，求阴影部分面积。

解析如下：

讲解完这样的题目时，老师可以引导学生培养逆向思维：

如：当其他条件不变时，知道小正方形BEFG的面积，反过来求三角形AFC面积，怎么求？

通过类似的训练，学生能将题目中蕴含的知识点了解得更通透。

日本的佐藤大和写了一本畅销书《狡猾的读书法》[4]，书中提到一种非常独特的学习方法，旨在帮助学生更有效地学习和理解知识。方法就是：在开始学习一个问题或练习之前，首先查看问题的答案或解决方案，然后再努力理解为什么是这个答案。这其实就是全面系统地利用逆向思维的案例。

（七）分解思维，告别复杂进位

这个方法是一个小学四年级的学生分享给我的，他之所以采用这种方法，是因为他的书写有些凌乱，在处理多位数乘法时，当遇到需要进位的情况时他便感到很头疼。他在竖式乘法中采用了一种巧妙的方法，旨在简化计算过程，减少进位的困扰。

这种方法的核心思想是不直接在竖式上进行乘法运算，而是在草稿纸上将每一步都分解为一位数的乘法。这样做的好处在于，它帮助学生更清晰地理解每一步的计算，同时消除了进位操作，使整个运算过程变得更加轻松和简洁。

下面我通过一道例题来说明：

观察上面两道题。我们可以看到两道题都使用了传统的乘法方法并进行进位计算。虽然第一道题在计算上还算简洁，但如果解第二道题还是用传统方法，就会让计算变得非常复杂，容易出错。在小学阶段，遇到这么复杂的计算情况相对较少，本文仅通过此例说明采用分解计算方法的优势。这种分解计算的方法有助于学生更清晰地理解每一步的计算过程，同时减少进位带来的混淆。

为阐述方便，我们以第一道题来说明分解思维方法。

解答分三步：

步骤一：计算7乘以89

首先，在草稿纸上写下数值97，然后将7分别乘以上面89的每一位数。这意味着首先计算7乘以9，得到63，然后计算7乘以8，得到56。将这两个结果用竖式相加，并将加和的结果623写在整体乘法竖式的合适位置。

步骤二：计算9乘以89

接下来，用9乘以上面89的每一位数。首先计算9乘以9，得到81，然后计算9乘以8，得到72。将这两个结果用竖式相加，并将加和的结果801写在整体乘法竖式的合适位置。

步骤三：计算整体结果

最后，在整体乘法竖式中计算出上述两步骤的结果。将623和801用竖式相加，得到最终的答案8633。

需要注意：每一步计算都要将数字的位置对好。

这个思路就是分解的思路，即将多位数乘法问题分解成一位数的乘法问题，这样做非常简单、清晰明了，而且不需要担心乘法进位的问题。我曾经向一些小学生介绍过这种方法，几乎所有学生都能在短短5分钟内掌握它。

这种分解思路的优点在于，它简化了复杂的多位数乘法，使学生更容易理解和操作。通过将问题分解成更小的部分，学生能够逐步进行计算，避免了进位操作可能带来的混淆。这种方法不仅有助于学生更好地理解数学概念，还提高了他们的计算效率，让数学变得更加容易掌握。

（八）联想的思维

同样是背单位之间的换算规律，许多小学老师要求学生熟练掌握度量衡的进位关系：毫米、厘米、分米、米、千米；平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、立方毫米、立方厘米、立方分米、立方米。有的老师还要求学生对每一组关系都要抄写5-10遍来加深记忆，就像下面这样：

1厘米=10毫米

1分米=10厘米

1米=10分米

1平方厘米=100平方毫米

1平方分米= 100平方厘米

1平方米=100平方分米

1立方厘米=1000立方毫米

1立方分米=1000立方厘米

1立方米=1000立方分米

这样重复的书写和背诵，虽然能让学生熟练记忆，可是有的学生会有厌烦的情绪，不利于长期持续学习，也有可能影响到孩子的学习热情。

我在教学生的时候，则会让学生用“偷懒”的方法，基本上不用抄写，在几分钟之内就全部记住了。我教给学生一个口诀：“麦当劳妈妈（mcdm），一二三”。

怎么解释呢？

mcdm就是四个长度单位：mm,毫米；cm，厘米；dm，分米；m,米。

一呢，就是一维，就是1个10的进阶，单位之间的关系是1个10，1cm=10mm；1dm=10cm；1m=10dm。

二呢，就是二维，就是2个10相乘的进阶，单位之间的关系是2个10相乘：1cm2=100mm2；1dm2=100cm2;1m2=100dm2。

三呢，就是三维，就是3个10相乘的进阶，单位之间的关系是3个10相乘：1cm3=1000mm3；1dm3=1000cm3;1m3=1000dm3。

这么记忆的时候，老师不妨给学生们简单解释一下什么是一维、二维和三维，以及它们之间的关系。虽然小学不需要掌握太多二维、三维的知识，但是通过这样的讲解，学生们不仅能更好地理解当前知识，也能对未来学习这方面知识做一个铺垫。

每次学生们记忆这个方法的时候，书写：mcdm,123。背诵：麦当劳妈妈，一二三。

其余的都靠联想推演，这样不仅有趣轻松，也能让孩子们理解更加深刻。

我在实践中发现，类似这样的方法，在开始的时候并不是很节省时间，但是有三个好处：一是学生对类似枯燥概念和公式的记忆更加容易坚持，特别是一些活泼好动特别不喜欢死记硬背的孩子；二是鼓励孩子们用联想的方法创造出自己的逻辑和办法来快速理解、学习和运用知识；三是坚持得越久，就会学得越来越快，越来越省时。

思考和建议

数学是一门具有广泛应用领域的学科，它在自然科学、工程学、社会科学以及日常生活中都发挥着至关重要的作用。数学不仅是解决问题和推理的工具，还是培养逻辑思维、分析能力和创新思维的重要途径。数学作为一门学科，有助于培养学生的坚持、耐心和解决问题的能力。

中国在2023年实施的强基计划[5]涵盖了39所高校，令人鼓舞的是，其中32所大学将数学专业列为招生专业，而在这32所大学中，有31所将其列为招生专业中的第一专业。这明显反映了数学在中国教育体系中的重要性。

数学教育应该旨在让学生理解数学的美和趣味性，而不仅仅是死记硬背概念和公式;不仅要培养学生的计算技能，还要鼓励他们思考数学问题的本质，理解数学的逻辑和结构；教育者应该以培养学生的数学兴趣为目标，让他们享受数学学习的过程，而不仅仅是为了应付考试。

在小学数学教育中，一线教师具有独特的机会,将探究精神和好奇心作为数学教育的核心，用多样化、创造性的教学方法和活动，帮助学生更深刻地理解数学，传递数学的美和趣味性，培养学生的高阶思维能力、好奇心和探索精神,为未来学习和生活奠定坚实的基础。

【参考文献】

[1]吴军.数学之美.北京：人民邮电出版社，2012:18.

[2] 巴里·J.沃兹沃思.皮亚杰认知和情感发展理论.杨砚秋，译.上海：华东师范大学出版社，2022：89.

[3]教育部.教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知[DB/OL].

http://www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/202204/t20220420_619921.html.

[4]佐藤大和.狡猾的读书法.蔡昭仪,译.台北：究竟出版社股份有限公司，2016:40.

[5]教育部.关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见[DB/OL].

http://www.moe.gov.cn/srcsite/A15/moe_776/s3258/202001/t20200115_415589.html.

▲点击上方卡片一键关注

— END —

来源网络

编辑明德数学工作室

文章版权归原作者所有

转载只供学习，无任何商业用途

如有侵权请联系删除

往期推荐

新课标| 如何引导学生用数学的语言表达现实世界？不妨从这四点入手

春晚魔术玩的竟是数学，背后的原理讲给孩子！

千古流芳，100首“春日”唯美意境古诗词

用数学教孩子

一位优秀教师具备的50个教学“好习惯”

学习资源|小学数学同步微课最新汇总【多版本】

好课共赏（十）|小学数学说课比赛课例528节

数学好玩 | 数学游戏共19集

孩子在小学阶段最重要的16件事，比成绩还重要！

成长|学校是你必须敬畏的地方！

你若喜欢，点个在看

转载请说明出处内容投诉内容投诉
九幽软件 » 具象思维（具象思维的人擅长什么）

daye9988

分享到：