本文主要整理第一部分的后半部分内容，包括函数极限的概念与性质、计算、函数的连续性与间断
1、邻域
设是数轴上一个点，是某一正数，则称为点的邻域，记作，即其中点称为邻域的中心，称为邻域的半径。
2、去心邻域
定义点的去心邻域（大写上一个点）
3、左、右邻域
称为点的右邻域，记作；称为点的左邻域，记作
4、邻域与区间
邻域当然属于区间的范畴，邻域通常表示“一个局部位置”，比如“点的邻域”就可以称为是“点的附近“。但是这个”附近“到底是多近多远，既难以说明也没有必要说明
设函数在点的某一去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意给定的（不论它多么小），总存在正数，使得当时，对应的函数值都满足不等式，则A叫作函数当时的极限，记为或，
即：，当时，有
1、唯一性
如果极限存在，那么极限唯一
函数极限存在的充要条件：
且
?
2、局部有界性
如果，则存在正整数和，使得当时，有
3、局部保号性
?如果且，那么存在常数，使得当时，有；如果在的某去心邻域内且，则
（小于的情况类似）
如果当（或）时，函数的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小，记作：（或）
0?是最高阶的无穷小量，是唯一的常数无穷小量
除0外的无穷小量都不是常数
1、有限个无穷小的和是无穷小
2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小
3、有限个无穷小的乘积是无穷小
设在自变量的同一变化过程中，，，且，则：
1、若，则称是比高阶的无穷小，记作
2、若，则称是比低阶的无穷小
3、若，则称与是同阶无穷小
4、若，则称与是等阶无穷小，记作
5、若，则称是的阶无穷小
1、极限四则运算规则
当和的极限存在时（前提！），那么它们的加减乘除的极限就等于它们极限的加减乘除：
若，，那么
1、，其中，为常数
2、? ? ? ? 特别地，若存在，为正整数，则? ?
夹逼准则3、
2、洛必达法则?（可用柯西中值定理证明，后面会涉及）
简单来说就是需要满足三个条件
①??型或??型
②分子与分母在指定区间分别可导
③（或）
（当第一次洛必达后未得出答案，且分子分母分别求导得到的分数仍满足洛必达法则，则可以继续使用洛必达，以此类推）
法则一
设①当（或?）时，函数及都趋于零；(??型)
②及（导数）在点的某去心邻域内（或当，此时为充分大的正数）存在，且；
③（或）存在或为无穷大，则（或）
（此等式右边存在，则左边存在；而左边存在，并不意味着右边存在；如）
法则二?
设①当（或?）时，函数及都趋于无穷大；(??型)
②及（导数）在点的某去心邻域内（或当，此时为充分大的正数）存在，且；
③（或）存在或为无穷大，则（或）
（此等式右边存在，则左边存在；而左边存在，并不意味着右边存在；如）
3、泰勒公式?
设在点处阶可导，则存在的一个邻域，对于该邻域的任一点，有
?通过泰勒公式可以得到以下重要函数的泰勒公式：
?
4、无穷小的运算?
设，为正整数，则
①??，?? （加减法时，低阶无穷小“吸收”高阶无穷小）
② ， （乘法时，阶数“累加”）
③ ， 且为常数（非零常数相乘不影响阶数）
5、 泰勒公式应用时的展开原则
（1）?型，适用”上下同阶“原则
? ? ? ?
????????如果分母（或分子）是的次幂，则应把分子（或分母）展开到的次幂
?（2）?型，适用”幂次最低“原则
????????将，分别展开到它们的系数不相等的的最低次幂为止
6、两个重要极限
（1）
（2）
7、夹逼准则
如果函数 ，及满足下列条件：
（1）；
（2），
则存在，且
函数极限计算题一般归纳为七种未定式，分别是：
?，??，?，?，?，??，
题型有：直接计算、反求参数、已知某一极限求另一个极限、无穷小的比阶等
一般思路是：
①化简（因式分解、等阶无穷小替换、恒等变形）
②判断运算类型
③选择方法（洛必达、泰勒、夹逼等）
?（遵循我第一轮复习的原则，只是整理把握理论知识；
我将在第二轮复习时根据第一轮复习成果结合具体的例题进行做题训练）
设函数在点的某一邻域内有定义，且有，则称函数在点处连续
函数某点的左右极限与该点的函数值相等时，此函数在该点连续
两个函数在同一个点都连续时，这两个函数进行加减乘除运算后得到的函数在该点也连续（注意除法分母不为0）
函数的连续有局部保号性（也就是说，在连续点的局部邻域内，函数值的符号与连续点对应的函数值的符号相同）
以下设函数在点的某去心邻域内有定义（这是讨论间断点的前提，无定义点必然间断）
1、可去间断点（可补间断点（通过补充或者修改定义））
若，则称为可去间断点
2、跳跃间断点
若与都存在，但它们不相等 ，则称为条约间断点
可去间断点和跳跃间断点统称第一类间断点
?3、无穷间断点
若或或，则称为无穷间断点，如点为函数的无穷间断点
4、振荡间断点
若振荡不存在，则称为振荡间断点
如函数在点处没定义，且当时函数值在-1和1之间交替振荡取值，极限不存在，故就是函数的振荡间断点
无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点
