关于十二种基本符号、各种未知数以及公式/语句与哥德尔数的对应关系我不再赘述，请您自行查阅/观看科普视频。我们直接从sub函数讲起，请跟随我的步骤，相信您一定能由此理解整个过程。
一、sub(a,b,c)函数的意义：
在哥德尔数为a的公式或语句中，找出所有哥德尔数为c的符号，然后让c=b。
二、理解公式或语句与哥德尔数的互指关系：
sub(a,b,c)可以指代它所对应的哥德尔数；a也可以指代它所对应的公式或语句。
三、一个容易被人所忽略的点：
y从始至终都只是一个未知数，它本身的哥德尔数为17，而我们可以为y赋值为任意的数（也包括一个公式或语句的哥德尔数）。
四、
现在，我们已经完成了所有准备工作。
接着，哥德尔写了一个语句（或者说命题）：“无法证明哥德尔数为 sub(y,y,17) 的公式”。
其中sub(y,y,17)的意义是：“在哥德尔数为y的公式或语句中，找出所有哥德尔数为17的符号（即未知数y），然后让未知数y=y（哥德尔数为y的公式或语句）”。
整个句子的含义 完备性就是：把任意命题中的未知数y都换成这个命题本身，由此得到的新命题无法被证明。
五、
请注意，在这个定理的证明过程中，y只是一个未知数；但同时，我们为某处的y赋值的时候，所有的y都会发生一致的改变。（只有我们为y赋上值时，它的含义才会确定下来）
六、
重新回到第四步所说的东西上来。尽管这个语句（命题）让人费解，但我们肯定能用一个哥德尔数来标识它。我们把它记作n，即：“无法证明哥德尔数为 sub(y,y,17) 的公式”=n。
七、
在理解了这一切后，我们看着哥德尔如法炮制：
他又写了一个类似但不完全相同的语句（命题）：“无法证明哥德尔数为 sub(n,n,17) 的公式”。
它的意义是：“在哥德尔数为n的公式或语句中，找出所有哥德尔数为17的符号（即未知数y），然后让未知数y=n（哥德尔数为y的公式或语句）”。类似第六步地，我们先把这个语句（命题）记作g。
正巧，我们的n所代表的公式中恰好有未知数y：
n=“无法证明哥德尔数为 sub(y,y,17) 的公式”
将标红的未知数y替换为n，由此，sub(n,n,17)即为：“无法证明哥德尔数为 sub(n,n,17) 的公式”。
注意，这里的sub(n,n,17)成功地自指了它本身，sub(n,n,17)=“无法证明哥德尔数为 sub(n,n,17) 的公式”。sub(n,n,17)正在宣称它自己无法被证明！
（其实到此为止我们已经得到了一个自指的命题。假设它为假，那么它便可以被证明，但我们将会证明出“它不能被证明”，由此推出矛盾；若假设它为真，那么按照它自身的意义，我们将永远无法证明它。）
我们再把上面的东西代入到g中，则
g=“无法证明哥德尔数为‘无法证明哥德尔数为 sub(n,n,17) 的公式’的公式”。
完备性由于第二步所介绍的“公式或语句与哥德尔数的互指性”，我们可以把单引号中间的东西写回sub(n,n,17)。接着我们会发现，
g=“无法证明哥德尔数为sub(n,n,17)的公式”。 …………①
自然，我们可以重复一次写回的操作，所以得到
g=sub(n,n,17). …………②
将②式代入①式，我们会发现：
g=“无法证明哥德尔数为g的公式”。
我们发现，g正在声称它自己无法被证明。
假设它为假，那么它便可以被证明，但我们将会证明出“它不能被证明”，由此推出矛盾；
假设它为真，那么按照它自身的意义，我们将永远无法证明它。
由此，我们得到了在哥德尔所建立的公理体系中一个不能被证明的命题：g。
