线性代数笔记
线性代数笔记
第一章 行列式1
第二章 矩阵2
第三章 向量空间3
第四章 线性方程组5
第五章 特征值与特征向量5
第一章 行列式
1.3.1 行列式的性质
给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为 D 的转置行列式，记为 或 。
性质 1 转置的行列式与原行列式相等。即
(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)
性质 2 用数 k 乘行列式 D 的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论 1 若行列式中某一行 线性代数笔记（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为 0。
可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质 3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。
以二阶为例
推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
性质 4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。
性质 5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行
列式的和，
注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。
性质 6 把行列式的某一行（列）的每个线性代数笔记元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式
的值不变。
范德蒙德行列式
例 10 范德蒙行列式……
【答疑编号
.
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)
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1.4 克拉默法则
定理 1.4.1 对于 n 阶行列式
定理 1.4.2 如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式=0,则方程组有惟
一的解:
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零
解，没有非零解。
推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
1、矩阵的加法
设 A= （a ） ，B= （b ） ，则
ij m×n ij m×n
A+B= （a +b ）
ij ij m×n
矩阵的加法适合下列运算规则：
（1）交换律：A+B=B+A
（2 ）结合律：（A+B ）+C=A+ （B+C ）
（3 ）A+0=0+A=A
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此处 0 表示 A 同型的零矩阵，即A= （a ） ，0=0
ij m×n 线性代数笔记 m×n
（4 ）矩阵 A= （a ） ，规定-A= （-a ） ，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+ （-A ）= （-A ）
ij m×n ij m×n
+A=0
2、矩阵的数乘
设 A= （a ） ，K 为数，则
ij m×n
KA= （Ka ）
ij m×n
矩阵的数乘适合下列运算规则：
（1）K （A+B ）=KA+KB
（2
）（K+L ）A=KA+LA
（3 ）（KL ）A=K （LA ）
（4 ）1*A=A
（5 ）0*A=0 （左端的零是指数 0 ，而右端的“0 ”表示一个 A 行数列数相同的零矩阵。）
3、矩阵的乘法
设 A= （a ） ，B= （b ） ，则
