在学习本节内容之前，我们先来复习一下上册里我们学习过的一元复合函数求导法则，还记得这部分内容的同学们可以跳过这部分【文末有漫画】
设有复合函数 ，这里，，那么我们就有
比如函数 就是一个简单的例子，这里的 ，，所以
重点: . 复合关系图
. 另一种理解记忆的办法
有了一元的基础，接下来咱们来看多元的情况。但是多元复合是比较复杂的，可以是多元和一元的复合，一元和多元复合，多元和多元复合，所以咱们需要分类讨论后再汇总。那么咱们先来看中间变量是一元函数的情形。
假设有函数 ，其中 ，，那么 就是中间变量，而 是自变量，我们称这样的函数为中间变量为一元的情形，记为
Th.1: 设 ， ， 。其中 在 处可导， 在对应点( 处有连续偏导数, 则复合函数 在 处可导，且
复合关系图
对定理1的证明（可跳过）
由于 在 处可微，故
这里的
左右同除
由于 可导，故连续。
从而当 时， , ，从而有
令 得
注: 为了便于理解和记忆，可以这样记
. 推广到更多元
或
设函数 ，其中 , , ，则
例1. , , , 求 .
解:
例2： , 可微，求 .
【分析】出现了抽象函数
解: 记 , ，所以 ，则
假设有函数 ，且 ，，那么
Th.2. 设 , , ,其中 在 处可偏导， 在对应点处可微, 则复合函数 在 处可偏导，且
复合关系图
注：1)
2) 推广到更多元
(i)设函数 ,,, 则
(ii) 设函数 ,,，则
例3. , 求 .
解：
例4. ， 可微，求 .
解: ，. 则 .
Th.3. 设函数 , , ，其中 可偏导，可导，在对应点处可微，则复合函数 在 处可偏导，且
复合关系图
注：其它情形 , , , 则当中间变是看待
例5. , . 求 , .
解:
例6. ， 可微，求 ,.
解：记 ,, 则 则
对于抽象的复合函数，为了写法和计算上的方便，引入记号:
注: 若 , 则 , 仍是 的函数，即
对 分别求偏导得到,
对 分别求偏导得到 ,
具体来说，如: . 则,
例7. , 具有二阶连续偏导数，求: ,
解：
设函数 , , 则
即
或 .
我们称之为 微分形式不变性。
也就是从形式上看，一个函数的全微分，即函数变量的微分，无论这个变量是函数中的自变量，或者是中间变量，都成立。
用法： 就是直接使用上面推导过程的结论，即
例8. ，，，求 ,
【分析】直接使用全微分
解：
例9. ，求 .
解：，
作业同济7版《高等数学-下册》
P84 习题9-4 2,4,8(1),12(1)(3)
答案见公众号里的“全部课程”-“课后习题”
故事还将继续...
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