1、第十三章表面展开图第十三章表面展开图13.13.概述概述13.13.平面立体表面展开平面立体表面展开13.13.可展曲面的表面展开可展曲面的表面展开13.13.不可展曲面表面展开不可展曲面表面展开13. 1概述概述、表面展开图概念、表面展开图概念：将物体表面，按其实际形状和大小摊平将物体表面，按其实际形状和大小摊平在一个平面上，称为物体的表面展开图。如：在一个平面上，称为物体的表面展开图。如： 、求展开图的实质、求展开图的实质：求立体各组成表面的实际形状和大小：求立体各组成表面的实际形状和大小、立体表面按可展性分、立体表面按可展性分：可展面可展面：表面为平面或连续两素线平行：表面为平面或连续两
2、素线平行或相交：如平面立体、圆柱面、圆锥面。或相交：如平面立体、圆柱面、圆锥面。不可展面不可展面：如球面、环面：如球面、环面、展开图绘制方法、展开图绘制方法：图解法图解法：也称为几何放样，是根据投影原理，：也称为几何放样，是根据投影原理，用几何作图法画出下料用的展开图用几何作图法画出下料用的展开图 数解法数解法：也称为数值放样，是根据被展立体表面的方程、相贯线方：也称为数值放样，是根据被展立体表面的方程、相贯线方程或截交线方程求出相应的展平曲线方程或计算出所需曲线上一系程或截交线方程求出相应的展平曲线方程或计算出所需曲线上一系列点的数据，再绘制出下料展开图列点的数据，再绘制出下料展开图 、展开
3、图的应用、展开图的应用：广泛应用于化工、冶金、动力、造船等工程：广泛应用于化工、冶金、动力、造船等工程领域的薄板制件及包装业。领域的薄板制件及包装业。 13.2平面立体的表面展开平面立体的表面展开展开方法：求出平面立体表面的实形展开方法：求出平面立体表面的实形1 正四棱锥表面的展开 ）解题步骤）解题步骤 用绕垂直轴旋转法求出四棱锥的棱线用绕垂直轴旋转法求出四棱锥的棱线 sb的实长的实长 以锥底线以锥底线 AB 的水平投影的水平投影 ab 为底边，为底边，sb1为另两边，画出四棱锥的正面为另两
边，画出四棱锥的正面 SAB 的实形；的实形； 以锥底线以锥底线 BC 的水平投影的水平投影 bc为底边
4、，为底边， sb1为另两边，为另两边，画出四棱锥的侧面画出四棱锥的侧面 SBC 的实形。的实形。 ）四棱锥投影特点分析）四棱锥投影特点分析：解题核心：求出相邻两个棱面的实形，即得四棱锥的展开图解题核心：求出相邻两个棱面的实形，即得四棱锥的展开图 2 正四棱锥台表面的展开正四棱锥台表面的展开 1)投影分析：投影分析：）求解方法）求解方法（）按四棱锥求解（）按四棱锥求解 ( 2 ）只需求出相邻两个截头棱面的实形，即得该立体的展开图。）只需求出相邻两个截头棱面的实形，即得该立体的展开图。作图步骤如下：求出作图步骤如下：求出abed、becf 实形实形 作辅助线作辅助线 AE 、 BF 。 用直角三角
5、形法求得对角线用直角三角形法求得对角线 AE 、 BF 的实长，的实长， 用绕垂直轴旋转法求出截头四棱锥的棱线用绕垂直轴旋转法求出截头四棱锥的棱线 EB 的实长。的实长。 已知水平线已知水平线 AB 、 DE ，两棱线，两棱线 AD 、 BE 的实长。完成四边形的实长。完成四边形 ABED 的展开图。的展开图。 已知正垂线已知正垂线 EF 、 BC ，两棱线，两棱线 BE 、 CF 的实长。完成的实长。完成BCEF的展开图。的展开图。 二、棱柱表面的展开二、棱柱表面的展开 1）截头棱柱：）截头棱柱：如图棱柱一端被截如图棱柱一端被截1 截头三棱柱表面的展开截头三棱柱表面的展开 ）投影分析）投影分
6、析）作展开图步骤：）作展开图步骤： 先将棱柱底面展开成为一先将棱柱底面展开成为一直线直线 c0-c0，并依次截取，并依次截取 cobo =cb , boao=ba , aoco=ac , 在过在过c0、b0、 a0、c0作垂直作垂直线，并在对应直线上截取各棱线，并在对应直线上截取各棱线的实长，得线的实长，得 f0、e0、d0各点各点 依次连接所求各点依次连接所求各点 2 斜棱柱表面的展开斜棱柱表面的展开 1)斜棱柱斜棱柱）投影分析：）投影分析：关键是求出正截面的实形，因为棱是垂直正截面关键是求出正截面的实形，因为棱是垂直正截面）作图步骤：）作图步骤： 作正垂面作正垂面 P 、垂直于棱线，交棱线
7、、垂直于棱线，交棱线于于 1 、 2 、 3 点，并求得其水平投影点，并求得其水平投影 123 。 用绕垂直轴旋转法求得正截面的实用绕垂直轴旋转法求得正截面的实形形 11 21 31 ，并将各边实长展开成为，并将各边实长展开成为一直线一直线 l 。- l 。 过过 l 。、。、 2 。、。、 3 。、。、 l 。各点引。各点引垂直线，并在对应直线上截取各棱线的垂直线，并在对应直线上截取各棱线的实长，得实长，得c。、。、 a 。、。、 b。、c。和。和 f0 、 d 。、。、 e 。、。、 f0 点；点； 依次连接各点依次连接各点 13.3 可展曲面的展开可展曲面的展开一、柱面的展开一、柱面的展
8、开1 截头正圆柱表面的展开截头正圆柱表面的展开 ）截头正圆柱）截头正圆柱）投影分析）投影分析）作图步骤：）作图步骤： 首先将圆柱底圆分割成首先将圆柱底圆分割成 n ( n 12 ）等份，并过各等份点在）等份，并过各等份点在正面投影图上画出圆柱的素线。正面投影图上画出圆柱的素线。 将圆柱底圆展开成为一直线。将圆柱底圆展开成为一直线。12 。，并截取。，并截取 12 等份，等份，点间的弧长近似值点间的弧长近似值 k ; 自各等分点作垂线，使它们自各等分点作垂线，使它们分别等于相应素线的实长分别等于相应素线的实长 用光滑曲线把各端点连用光滑曲线把各端点连接起来接起来 2 斜椭圆柱表面的展开斜椭圆柱表
9、面的展开 ）斜椭圆（截面为椭圆）柱）斜椭圆（截面为椭圆）柱）投影分析：）投影分析：关键是作出正截面（椭圆）实形关键是作出正截面（椭圆）实形）作图步骤：）作图步骤： 作一辅助平面作一辅助平面 P 、与斜椭圆柱的轴、与斜椭圆柱的轴线垂直，将它分割成上、下两个直椭线垂直，将它分割成上、下两个直椭圆柱；并求出截面的水平投影，圆柱；并求出截面的水平投影， 用换面法画出截断面的实形用换面法画出截断面的实形 椭椭圆；圆； 将所求得的椭圆展开成为一直线将所求得的椭圆展开成为一直线 0 。一一 O 。 过过O。、。、 1 。、。、 2 。 点分别点分别作垂直线，并量取线段等于素线上相作垂直线，并量取线段等于素线
10、上相应线段的实长；应线段的实长； 用光滑曲线把各端点连接起来，即用光滑曲线把各端点连接起来，即得所求斜椭圆柱表面的展开图。得所求斜椭圆柱表面的展开图。二、锥面的展开二、锥面的展四棱锥展开图开 、圆锥展开、圆锥展开=(60/50) 180=216 2 截头正圆锥表面的展开截头正圆锥表面的展开 ）截头正圆锥）截头正圆锥）投影分析）投影分析）作图步骤）作图步骤 首先作出整个正圆锥的展开首先作出整个正圆锥的展开图图 将圆锥的底圆分成将圆锥的底圆分成 n ( n 一一 12 ）等份）等份 用绕垂直轴旋转法求出各素用绕垂直轴旋转法求出各素线的实长，及其被截去的线段实线的实长，及其被截去的线段实长长 在展开图上把扇形的
11、圆心角在展开图上把扇形的圆心角也分成相同的也分成相同的 12 等份等份 量取相应的长度量取相应的长度 将所得各点分别用光滑曲线将所得各点分别用光滑曲线连接起来连接起来 2 斜椭圆锥表面的展开斜椭圆锥表面的展开 ）斜椭圆锥）斜椭圆锥）投影分析）投影分析、作图步骤、作图步骤 首先将斜椭圆锥底圆分割成首先将斜椭圆锥底圆分割成 n ( n 一一 12 ）等份，并过）等份，并过各等份点在正面投影图上画出斜椭圆锥的素线各等份点在正面投影图上画出斜椭圆锥的素线 用绕垂直轴旋转法求得斜椭圆锥前半部素线用绕垂直轴旋转法求得斜椭圆锥前半部素线 s1 、 s2 、 s3 、 s4 、 s5 的实长的实长 s11 ;
12、 取取 s000 = s o ； 把各端点把各端点光滑连接起来光滑连接起来 13.4 不可展曲面的表面展开不可展曲面的表面展开实质是：把不可展的曲面分解为若干较小的部分，然后将每实质是：把不可展的曲面分解为若干较小的部分，然后将每一小部分表面分解成为可展的平面、柱面或锥面进行展开一小部分表面分解成为可展的平面、柱面或锥面进行展开 一、圆球面的近似展开一、圆球面的近似展开投影特点投影特点 : 1 近似柱面法近似柱面法 沿经线方向等分圆球面沿经线方向等分圆球面的水平投影为的水平投影为 12 份份 用相应部分的外切圆柱用相应部分的外切圆柱面代替该部分圆球面面代替该部分圆球面 将正圆柱面的正面投影将正圆柱面的正面投影也分割为也分割为 12 等份等份 以以 k 为间隔距离，取相为间隔距离，取相应的长度应的长度 光滑连接所求各点，完光滑连接所求各点，完成该部分圆柱面的展开图成该部分圆柱面的展开图 、近似锥面法略、近似锥面法略二、圆环面的近似展开二、圆环面的近似展开 、投影分析、投影分析、作图步骤、作图步骤 把把 1 / 4
