爪子定理（爪子定理证明）

??三余弦定理?,也称为?折叠角公式或?爪子定理,它描述了在?立体几何中,过平面外一点B的直线BO在平面上的射影为AO,OC为面上的一条直线时,∠COB、∠AOC、∠AOB三角的余弦关系。即cos∠COB=cos∠AOB.cos∠AOC。?

cos∠COB=cos∠AOB.cos∠AOC

最小角定理：

∠AOB也是最小角。最小角定理（minimum angle theorem）是立体几何的重要定理之一，指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角。

如何记忆：

这三个角中,∠COB是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成∠AOB是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。(运用时可以背诵成,横的角乘以竖的角等于斜的角)

应用：

三余弦定理在立体几何中有着广泛的应用,特别是在处理与平面和直线相关的角度问题时非常有用。例如,在求解直线与平面所成角或二面角的问题中,三余弦定理结合?三正弦定理可以提供有效的解决方案。

推论一：折叠角公式推论

PO是平面α的一条斜线,PH⊥α,垂足为H,l为平面α内任意一条直线(与OH的射影不重合也不平行),设PO与直线l所成角为θ,PO与平面α所成角为θ₁,OH与直线l所成较小角为θ₂,则cosθ=cosθ₁.cosθ₂。

推论二：折叠角公式推论

折叠角公式(三余弦定理)逆定理依旧成立。

推论三：折叠角公式推论

从空间一点O引出的三条射线OA、OB、OC满足cos∠AOC=cos∠AOB×cos∠BOC,则面AOB⊥面BOC。

爪子定理

例题：

直线AB与直二面角α-a-β的两个面分别交于A、B两点，且A、B都不在棱a上，设直线AB与平面α和平面β所成的角分别为θ和φ，求θ+φ的取值范围。

解：如上图，作BC⊥a于C，

∵平面α⊥平面β，

∴BC⊥平面α。

∴∠BAC是AB与平面α所成的角。

即∠BAC=θ。

又从BC⊥平面α可知BC⊥AC。

在Rt△BAC中：θ+∠ABC=90°。

由最小角定理可知:φ≤∠ABC，

∴θ+φ≤90°。

故θ+φ∈(0°，90°]

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