1、1 .定义：说明：（1） 一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上lim （3x -1） = 5面的极限严格定义证明，例如：；（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而 不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。帥 已知（狮"=血阶利用导躺定义求扱限讪 xdr.ZJT L ffsin(絡 原式益hm =(sinx),| _=co$- =0*曲x22. 极限运算法则定理1已知llim f（x） |, llim g（x） |都存在，极限值分别为A , B，则下面极限都存在，且有 (1) llim f(x)
2、±g(x)=A±B(2)|lim f (x)，g(x) = A，Blim丄M =上,（此时需b式0成立）（3） I g（x） B 、说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要 使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。1 / 12例 6： hm+1 3x*Jtf特z + sin x絡原式=hm+1 -31imX22 x + sm xIT-*&x + si n xJl + A=Hm _5求极限_3 lim=1*3
3、="2-峠特-sin x七 sin x1 + 1 + XX8用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限lim 3X 2x >1x -1lim( 3x 八22 二 lim 二 2解:x 1 (x -1)( J3x 12) x 1 (x - 1)( ” 3x 12)4注：本题也可以用洛比达法则lim In(Jn +2 - Jn -1)例2“护解:原式=lim 5（n刀一一1）分子分母同除以、n 2 n -12(-1)n 3n像 2n+3n(1)3 / 12上下同除以3n(_£)n +1lim= 1f 2 n解:原式(3)13. 两个重要极限sin xlim=1x0x1时X
4、xw X)x = e例如:sin 3x “ lim1x卩3x1龙驶亠）九exm(1 X); 等等。（2）说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,18 / 12利用两个重要极限求极限1 -cosx lim厂J0 3x22 x2 x2sin2si n 1lim= lim =-x3x2x >0x、2 6解：原式二注：本题也可以用洛比达法则。2IJm(1 -3sin x)x1_6sin x1_6sinxlim (1 3sinx)=lim(1 3si解：原式=三型n 2 n lim ()n：n 1解：原式=n -H _3nnm(11)nd!_ 3 弓时_J3丿(1+
5、丙t丸4. 等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0）。定理3当xt °|时，下列函数都是无穷小（即极限是 0）,且相互等价，即有:sin x tan xarcs in xarctanx ln(1 + x)说明：当上面每个函数中的自变量x换成亟时（|g（X）T 0），仍有上面的等价关系成立，例如：当匚0时,ln (1 -x2)定理4如果函数f (x),g(x), f1(x),gdx)|都是I XT Xo求极限|时的无穷小,且lim 少1Jx° g（x）也存在且等lim |fi(x), |g(x)|©(x)，则当 | j0 gdx)存在时lim f
6、1(x)Ilim f1(x)|于f(x)f gdx)，即 j g(x) 1：=Jx0 g1(x)|利用等价无穷小代换（定理4）求极限lim xSx) 例 9 | J0 arctan(x )解：卜 xt 0时,1 n(1+3x)|3xarctan(x2)囲u原式=lim x 3xx 0 x2limx_0例10x sin x e - e解:原式=limx)0sinx , x _sin x 八e (e -1)x - sin xsin xe (x sin x) limx >0x-si n x注：下面的解法是错误的:原式=xsin x. (e -1) -(e -1). x -sin x .liml
7、im 1xTx - sin xxT x-si n xxsin x正如下面例题解法错误一样:,.t anx -si rx11 mx )0x3l i m = 07 x3例11limtan (x2s in )xsin x1 1 1当 xt 0 时，x2sin-是无穷小，”；tan(x2sin )与x2 sin等价 解：xxx所以,原式=2 . 1x sin.x1limlim xsin 0x 0 xx '0x（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替 换求极限常常行之有效。例1.屮 +xsinx -1)ex2-12.s
8、in sin(x -1)In x5 洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数I f （x）|和业U满足：（1） lf（x）|和鯉的极限都是0或都是无穷大;（2）卩（X）和g（x）都可导，且lg（x）|的导数不为0；(3)lim単g（x）存在（或是无穷大）；lim竺 则极限_g（x）也lim 5)Lf(x)|gx)，即g(x)LX gx)|定存在，且等于O说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要 有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为0”型或型；条件（2）般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以
9、知道是否满足。另外， 洛比达法则可以连续使用，但每次使 用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时， 也可能用到前面的重要极限、等价无穷 小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。1 COSXlim2例 12 上0一3x一（例 4）解:sin x1lim106x6原式=（最后一步用到了重要极限）O例14x- sin x limx.0解:x3原式（连续用洛比达法则，最后用重要极限)sin x - xcosx limo2- 例 15 x#x sin x解:sin x - xcosx原式=lim2JOxcosx - (cos x- xs in x) =limx
10、)03x2=limx_0xsin x3x2J 八 men X例18解：错误解法：原式In(1 x)lim x >0 L正确解法:原式 <im ln(1 x)x*m n(1 x)-x i0 xln(1 + x)i0x x-1=limx )02xx 1=limx0 
2x(1x) 2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例例19x 2sin x lim x e 3x cos x解：易见：该极限是限型，但用洛比达法则后得到:1 一 2cosx3 一 sin x，此极不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:（分子、分母同时除以x）13 （利用定理1和定理2）6 连续性定理6 一切连续函
11、数在其定义去间内的点处都连续,lim f（x）= f（x。）定义去间内的一点，则有_-_: 。即如果冈是函数I f（x）|的利用函数的连续性（定理6）求极限解：因为是函数if (x)二 x2ex的一个连续点,1所以原式=|2 =e7 极限存在准则定理7 （准则1）单调有界数列必有极限四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例 1 设 a > 0|x1= Ya, x2=十a+ la = Ja + x1,，Xn4r=寸a+ x*（n = 1,2，）求极限怛定理8 （准则2）已知 凶，*，Zn为三个数列，且满足: M 乞 Xn 兰 Zn ,
12、(n = 123,)(2)lim yn = alim zn = an_nLclim xn则极限匕一定存在，且极限值也是lim xn = aa，即心_10. 夹逼定理定瑾2啟列夫*定理如果魏列区n卜小/js足下列冬电Cl> y, <X, Sln=k,k+l,k+2)(*(2) hmy. =lLm z, =tfj, =<a *宣理3 妙夷罡理曲黒麺丘閨,讣）42）構罡下列勲当0 £ J-g |< 6磁看blW (2)hm (x)= -im A(x)=lim /(x)存在.且帯于>HR* Mfr>«««l"V-*V
13、>-.幷2nsin $m-例兔hm + +竺舟卜 >-*用+】丄1Ifl + s + 2丹IJTIJTITTSJD 一£lhiltlJ絡因沟一刪Un + lJ1旳 + n !1吕.边击 i?T fl2/而 lim / .ini = I n nxax =ntian 9tjt于处由夭*定理可知匱式等于？利用极限存在准则求极限例20已知X1 = V2 , Xn+ = J2 十 Xn , (n = 1,2,) 求解：易证：数列|Xn|单调递增，且有界（0<lim xnn.-：'：<2），由准则1极限lim Xn = a在，设w n。对已知的递推公式X井二J2+
14、Xn两边求极限，得:a =化+ a，解得:a = 2 或 |a = _1（不合题意，舍去）lim xn = 2所以I例21lim (十+)nY Pn2 +1Jn2 + 2 ln2+n解：易见:_n_ : J_ J_.n2 n n2 1.n221nn2 n . n21因为lim =n二 1n In2 nlim -n -1" n211 + 1+ 1 -)=1所以由准则2得:n21” n22 n2 n9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算, 收到奇效。恥求极恥旷如严网x 叭0T(jin A-sinsinx)x11. 泰勒展
15、开法也4如哒仏)在含有吗KI棊个因刖辺内具有到曲阶耳真则对X 0),育t 知g+gf+守u今m县中&(*=("州产叽这里/是介于心馬冀之间的粟令值.例林 $OS lim ? ln（l t -） * fx紐由秦勒公直展开有：就1 +丄）二丄1（导+ 0（丄八x x 2 x x于是原式二回工-"(丄-右+01 1iI-+1PX 2?=lim（-"XaO（-Ir）=-*“2 ? 212. 利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问 题。例创求即(片+产込給令丹E=arctan x0 A于是有hm xMJTf *8
16、.利用复合函数求极限疑M1 5siftW活歎尸=刃】若hm = a.而爵註f Z：在u-=»点隹绕Minn /Mx)J = /(lim <P(对=/(«>*B倒乩求柳顒km竺UL十Xt?i TjK + J _ £o0 + Jfji t 豊:由 _y = Inu * m = (I + x)"复会SEfC的* SE-fx u=e 自y = Inu连绽+-lahmG + ,T)f = &* = 】十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数可1Z Un1心_|收敛，则lim un = 0n)pc，故对某些极限lim f(n)
17、* /八|f ,可将函数丨f (n)作为级数lim f (n)=0有 ln4。f(n)n=1的一般项，只须证明此技术收敛，便1一、利用幕级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级 数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幕级数，有时为 Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例求应（匕谆十戸）7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于 1）（对付的还是数列极限）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）可以使用待定系数法来拆分化简函数9 求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系， 已知 Xn 的极限存 在的情况下， xn 的极限与 xn+1 的
