读懂率：初三（70%）；高二（100%）
类别词：相似、位似、镜像、垂心、解三角形;
关键词：反相似、反位似、相似比、极限、轮比性、垂足三角形、临界态
数学上的大发现和大研究，大多是借助洞察事物内部的能力，看穿数学的某些部分之间隐含的关系——在凡眼看来以为没有关系的事物之间发掘出某种新的关系。
我个人在教学上最看重的就是提启发性的问题——思考不是在茫茫黑夜中苍茫的大海上盲目地试探，它是在一个表面上看起来千头万绪的迷宫里探索出一条奇径，它是有方向的、有逻辑的，每一步都有强烈的动机。
我们都知道三角形有多个心，外心、内心、重心、垂心等等。之前我一直对三角形的垂心存有偏见，不知它有啥用，进而也不知道它的威力。
垂足 俗话说：欠的债早晚都得还——对于昨日文章《758三角形问题》，我就在垂心这个问题上栽了一个大跟头，到后来突然发现758三角形问题的核心就是垂心问题，现对该问题做如下的解读：
??A'B’C'周长的max的极限即为??ABC的周长，发生在三边上的点A'B’C'无限接近于ABC三个顶点的位置；
??A'B’C'周长在??ABC为直角三角形或钝角三角形时，min可取极限值，极限值发生在直角或钝角顶点C上（不妨设C为最大角）；
当??ABC为锐角三角形时，??A'B’C'周长min发生在垂足三角形的情况下，可通过三角形三边的轮比性及镜像对称详细证明。
证明过程有一些复杂，主要过程及结论如下：
2.1 在AB边上取动点C'，作C'关于a和b边的镜像点Ca',Cb',连接Ca'Cb'，交a、b于A'、B'。可知在C'固定的情况下，Ca'Cb'为??A'B’C'周长min值；
2.2 移动C’, Ca'
Cb' 长度随之改变，取其最小值即为??A'B’C'周长min值。由三角形轮比性（三边平衡性）可知：在a、b、c三边上取动点必然得到同样的??A'B’C'周长min值, 即Ca'Cb'=Ab'Ac'=Ba'Bc'.垂足
2.3 由上图一系列的对称性可知：??A'B’C'周长min值必发生在垂足三角形情况下，此时有以下几个重要结论（需要借助高中解三角形的知识点）：
垂足
2.4 垂心与内心的差异：垂心是垂足三角形的内心（角分线交点），内心是外三角形的内心（角分线交点）。
综上可知：我们是由内三角形周长最小值问题（因），依据对称性推得了垂足三角形周长最小（果）的结论。
这个认识的过程很重要。其实，我们并不需要记住一个垂足三角形周长最小的结论，但我们确实需要清晰上述的因果关系——由对称性导致了垂足三角形周长最小。
2.5 我们知道，锐角三角形的垂心在三角形内部，钝角三角形的垂心在三角形的外部，而直角三角形的垂心在直角顶点上（临界态）。
其实，在三角形的任意一个角上都可以作反相似三角形，但同时在三个角上作3个反相似三角形，再将其内推，让其刚好在三角形内部相遇，是有且只有锐角三角形才满足此要求的。而且相遇的那一刻，即是垂足三角形。因此，只有锐角三角形才能在三角形内部做出三个互补的反相似三角形，也只有等边三角形才能在三角形内部通过反相似做出四个与其自身相似的三角形。这是我个人一个直觉上的判断。
3. 在任意的非等边??ABC中，??A'B’C'若与??ABC相似，A'，B’，C'未必是三边的中点，可以用反相似及平行四边形法作出，此文不作赘述。
下图是我依据边长为8,5,7的一个一般的锐角三角形做出的一幅图，以及相关的一些计算结果。857这个三角形的尺寸以及一些关系很有趣（上文的名字即由它而来），感兴趣的读者可自行参考。
学习数学最原始的价值是发展我们的思考力——最真实的、有意志力的、独立的思考力。是一种可以引导数学的能量来认识物质世界，以及含于其间——那看不见的精神世界。
