高等数（A）1习题1.求下列函数的自然定义域：(3)y1x
解：由
x
，所以函数的定义域为[(0,1](7)yarcsin(解：xx，所以函数的定义域为[2,4](8)
y
1x解：由
xx
，所以函数的定义域为：
(0,3
9.求下列函数的反函数：（1）x解：由yxxy，所以反函数为y3（2）
y
11解：由
y(1)x
y
，所以反函数为：
y
11习题1.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1{(}n收敛.且极限为0.(4)
收敛，且极限为1
(6)
n{}3收敛.且因为：
n1=()n)3
n
，知极限为0.x|4.f())xx是否存在.解：
习题当的左、右极限，并说明它们在x0时的极限limlim0xlim(x0limx)lim0
xlim1limf(xlimlim1xxxxlimlim(lim)limlim1xx00xxxx0lim0
x)不存.习题4.求下列极限并说明理由.（1）
limx
2xx解：
xx=2lim0,由定可xxxx(2)
limx
2解：
=
)(1)
而lim由可x1习题1.计算下列极限.（2）
x
x2x
2lim(2)2lim(2)解：
lim3
xx2
(2x3lim(x
43（3）
limx1
x
2
x2解：
lim1
x(2limx1(xx
limx（4）
x
32解：
lim
4x3lim3xxx03
lim(4x2x2)
12（7）
x
xx2解：
lim
222
=lim
11lim(1)221=11112x2xxx（9）
x4
xxxx解：
limx
x((x2lim2xx(4)(x4(x3习题1.计算下列极限：（5）
limx0
1xxsinx解：
x
2sin2xsinxxxxx0x2.计算下列极限.（1）
lim(10
1解：
1lim(1)]x0
22（2）
lim(1)x0
1x解：
1xxlim[(1x0
12
]
2习题5.利用等价无穷小的性质，求下列极限：（1）
limx0
tan3x2x解：
当x0时~lim0
tan3x3xlimlim0x（3）
limx0
xsinx解：
1x2xtanxx)1limlim0sinxsin3xx0x021(~x,1~23~x3)2习题3.下列函数在指出的点处间断明这些间断点属于哪一类果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：（1）
y
xxx
，x解：xlimx1x
(x((xx(x故为第一类的可去间断如果补ff()在点续。在x点x2x1
(x(xlim(xxx2(故为第二类中的无穷断
法sin法sin习题3.求下列极限：（4）
xx解：
lim
x(x11limlimlimx(xxx(xx2习题113.求曲线,)处的切线方程和法线方程.32解：k切
x)|
32，2切线方程为：y
13(，即23312法线方程为：y(x)即4x3y2314.曲线y在点）的方：y切
x
e
x
)|
x
k法：x即xy：即xy16.讨论下列函数在x处的连续性与可导性：（2）
1x
xxlimf(xx0
2
sin(0),所以在x处连续lim
f()f(0)limxsin，所以函数在x处可x0x习题2.求下列函数的导数：
2函y3的数x4
x解：y
'
3
)'
(
22)()''4)5)324x2求函数y-2xe的导数解：y
'x)''ex)'2x
ln
x函数yln的导数解：y
')lnx(ln)'
lnx求函ye解：
的数y
ex)(cosx)']xxx
xln求函y的数解：
'
(ln)''lnln226.求下列函数的导数：求函数ln(1解：
)导数'(1)'7.求下列函数的导数：
x
2求数yarcsin(1)的导解：
y
'
x
'
)
x
求函数的导数解：y'
)'x'sin22sin2xx2x10.设f(x)可导，求下列函数的导数yfx)（1）
dydx
.解：
y
'fx2)(x2)xf习题1.求下列函数的二阶导数：x
xy'(22lnx)'x
1x解：
y
''
11)'x函数ysin二阶导数解'tcost(costsin)''tt()cos习题1.求由下列方程所确定的隐函数的导数yxy解：
dydx
.
方程两边同时对求导（y
即yy
yxy
)(2yxy
y
yy1-
方程两边同时求导解：
y
''xey)
'
即
'
y
'
)(1)
y'
1
5. 大学数学题求下列参数方程所确定的函数的导数3解：(bt3)3bt3bt(2'2at
dydx
.
xy
解：cos[1习题3.求下列函数的微分.（1）x
解
1x)))dxx（4）y
2)解：
)))
dx
xx习题1.用洛必达法则求下列极限：
esin解：
xxlimlimx0limx0
tanxsin解：
limx
tanx2xtanx2limlim2xsinx00x12mmlim）an解：
x
mammlimnna1n
nlim
x3x解：
xsec2x13xlimlimtan3sec3x(3)'x212cos3(3x)(3)'lim32cos(x)x2sinxxlimlimx2cos2xx
xsin3xsinx13)x解：11lim()lim11x2x1x21习题3.确定下列函数的单调区间：
8（）2(xx'2
82
，令'，解得解：
时,x0,函数单调递减[2,+时f'()函数单调递增）3解：y'=2(1)=0，y，得xx=
1x(，单调递减；)，'单递；('，单调递增1所递区是,减区间是]25.证明下列不等式：当时，1+
12
xx11令f(x)1，'(x)(1)2(1)222当时，x)单调递增解又ff(x)成立11+210.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：yx
3
x
2
xy'
xy''令y''=0，解得
53解：
55x时，''，凸区间为（]3355x时，''，凹区间[33（xe
7272解：
y'，y(x令y，解得2x(''，凸区间为(x(2，''，凹区间为[2习题6.求下列函数的最大值、最小值：）x
4
x
2
x解：
'3，令，得驻x舍，xyyyy11所以最大值，最小值习题2.求下列不定积分：（
3xdx解：
x
2
=
x
103
+c
x
dx2
x解：
x
2
x
52
x
32
10
(xdx解：
1(25x353
x
解：
ex
ln
e
25
x2dxx2解：
x
x2
+1x
）dxxx25.一曲线通过
2
在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数求
该曲线的方程.11：y,则dxlnxxx解（所3lne2为ln习题2.求下列不定积分：解：
12
e
12
cos(x)1xdx解：2
1x2=x2)2
sinx3x
解：
x1dxd(cos)=3习题求下列不定积分：
xdx解：令arcsinxx原式xarcsinx
2
dxarcsin
1
2
arcsin(1)
12
4.求不定积分
令u,'
解：
原式
e
(x习题3.利用定积分的几何意义，计算下列积分:
2xdx
1（lndx。lnxdxdx20001（lndx。lnxdxdx2000
1
dx
413.根据定积分的性质，说明下列各对积分哪一个的值比较大：（1）比较大小dx0（2）比较大小
x3dx。>x。<（3）比较大小
>1（4）比较大小：
xdx
ln(1)。>（5）比较大小：dx5.计算下列各导数：
习题
>）1x1d08.计算下列各定积分：
（解：
1(x+x41
(
2
x12+)dx)x4
313
x解：
313
x
31x123
6-1
x
4
x
dx解：
x
4
x2
=
32）dx=x3arctanx2
xxxx（
1x解：
lnl
（11sin解：
)
0
11.求下列极限：1x
0
tdt解limx
0
t
2
x2=limx0习题2.求由下列各组曲线所围成的图形的面积：1求曲线x2
大学数学题